===== Forcing próprio e preservação de $\omega_1$ =====

<WRAP tip>
Antes de fazer esta lista, é melhor você fazer as listas de [[lista:forcingccc|Forcing ccc e preservação de cardinais]] e [[lista:consistenciadeCH|Forcing enumeravelmente fechado e a consistência de CH]]
</WRAP>

<WRAP info>
Tomemos $\mathbb{P}$ um forcing e $p \in \mathbb{P}$ o jogo próprio, um jogo enumerável definido da seguinte forma:

     * Jogador 1 joga um nome para ordinal $\dot{\alpha}$ tal que $p \Vdash $ "$\dot{\alpha}$ é ordinal".
     * Jogador 2 joga com um conjunto enumerável de ordinais.

Após $\omega$ jogadas o jogador 2 ganha se existe uma condição $q \leq p$ tal que :
$$q \Vdash \forall n \in \omega \text{  }\exists k \in \omega :  \dot{\alpha}_n \in B_k$$

Dessa forma chamamos uma estrutura de forcing própria se o jogador 2 possui estratégia vencedora para todo $p \in \mathbb{P}$.

</WRAP>

**~~#~~** Seja $\mathbb P$ um forcing enumeravelmente fechado.

**~~#.#~~** Mostre que $\mathbb P$ é próprio. <wrap tip>[[dica:enumfechprop|Dica]]</wrap><wrap help>[[Solucao:enufechprop|Solução]]</wrap>