===== Forcing ccc e preservação de cardinais =====
Dizemos que um subconjunto $D$ de um conjunto parcialmente ordenado $\mathbb P$ é {{entry>denso abaixo de}} $p\in\mathbb P$ se para todo $q\le p$ existe $r\in D$ tal que $r\le q$.
**~~#~~** Sejam $\mathbb P$ um forcing, $p\in\mathbb P$ e $\varphi$ uma fórmula.
**~~#.#~~** Mostre que $p\Vdash \varphi$ se, e somente se, $\{q\in\mathbb P: q\Vdash\varphi\}$ é denso abaixo de $p$.
**~~#.#~~** Mostre que se $p\not\Vdash \varphi$, então existe $q\le p$ tal que $q\Vdash \neg\varphi$.
**~~#~~** Seja, $\mathbb P$ um forcing, $p\in\mathbb P$, $\dot{f}$ um nome e $A, B$ conjuntos tais que $p\Vdash \dot{f}\colon \check{A}\to\check{B}$.
**~~#.#~~** Para cada $a\in A$, mostre que
\[
\{b\in B: \exists q\le p \text{ tal que $q\Vdash \dot{f}(\check{a})=\check{b}$ }\}
\]
é não vazio.
**~~#.#~~** Defina $F\colon A\to\mathcal{P}(B)$ como
\[
F(a)=\{b\in B: \exists q\le p \text{ tal que $q\Vdash \dot{f}(\check{a})=\check{b}$ }\}
\]
e mostre que, para todo $a\in A$, $p\Vdash \dot{f}(\check{a})\in \check{F}(\check{a})$
**~~#.#~~** Mostre que se $\mathbb P$ é ccc, então $F(a)$ é enumerável para todo $a\in A$.
**~~#~~** Sejam $\alpha$ e $\beta$ ordinais tais que $\alpha=cf(\beta)$. Mostre que
\[
1\Vdash \check{\alpha}\ge \dot{cf(\beta)},
\]
onde $\dot{cf(\beta)}$ é o nome obtido pelo princípio do máximo aplicado à fórmula $\Delta_0$ "existe o menor ordinal $\dot{cf(\beta)}$ tal que existe $f\colon \dot{cf(\beta)}\to \check{\beta}$ cofinal em $\check{\beta}$".
Dizemos que um forcing $\mathbb P$ {{entry>preserva cofinalidade}} se, para quaisquer $\alpha, \beta$ ordinais tais que $\alpha=cf(\beta)$, temos
\[
1\Vdash \check{\alpha}=\dot{cf(\beta)}.
\]
**~~#~~** Queremos mostrar neste exercício que se $\mathbb P$ é um forcing ccc, então $\mathbb P$ preserva cofinalidade.
**~~#.#~~** Suponha que existam $\alpha$ e $\beta$ ordinais tais que $1\not\Vdash \check{\alpha}=\dot{cf(\beta)}$. Note que existe então $p\in \mathbb P$ tal que
\[
p\Vdash \check{\alpha}>\dot{cf(\beta)}.
\]
**~~#.#~~** Note que existem $q\le p$ e $\gamma<\alpha$ tais que
\[
q\Vdash \check{\gamma}=\dot{cf(\beta)}.
\]
**~~#.#~~** Seja $\dot{f}\colon\check{\gamma}\to\check{\beta}$ cofinal e seja $F: \gamma\to\mathcal P(\beta)$ como no exercício 2. Mostre que se definimos $g\colon\gamma\to\beta$ como
\[
g(\xi)=\sup F(\xi)
\]
para todo $\xi\in\gamma$, então $g$ é cofinal em $\beta$ e conclua o resultado.
Dizemos que um forcing $\mathbb P$ {{entry>preserva cardinais}} se, para todo $\kappa$ cardinal,
\[
1\Vdash \check{\kappa}\text{ é cardinal }.
\]
**~~#~~** Seja $\mathbb P$ um forcing que preserva cofinalidade.
**~~#.#~~** Mostre que, se $\kappa$ é um cardinal regular, então $1\Vdash \check{\kappa}\text{ é cardinal }$.
**~~#.#~~** Mostre que todo cardinal singular é o supremo de um conjunto de cardinais regulares.
**~~#.#~~** Conclua que $\mathbb P$ preserva cardinais.
Note que com os resultados desta lista e os resultados da lista "[[lista:negaçãodech|A consistência de $\neg$CH]]" você já deve ter tudo em mãos pra demonstrar a consistência da negação da Hipótese do Contínuo!