===== Conjuntos estranhos em $\mathbb R^n$ =====

<WRAP tip>
Provavelmente você vai querer saber os resultados da [[lista:BoaOrdem|lista de boa ordem]].
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**~~#~~** Mostre que $\mathbb R^3 \smallsetminus \mathbb Q^3$ é uma união de retas disjuntas.<wrap tip>[[dica:R3retas|Dica]]</wrap><wrap help>[[Solucao:R3-Q3retas|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que existe $A \subset \mathbb R^2$ tal que, para toda reta $r \subset \mathbb R^2$, temos que $r \cap A$ tem exatamente dois pontos.<wrap tip>[[dica:R2retas|Dica]]</wrap><wrap help>[[Solucao:A2Retas|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Este é um roteiro para construir uma função cujo gráfico é bem estranho.

**~~#.#~~** Mostre que $|\mathcal F| = \mathfrak c$, onde $\mathcal F = \{]a, b[ \times \{y\}: a < b, a, b, y \in \mathbb R\}$.

<WRAP info>
Considere $A \subset \mathbb R^2$. Denotamos, dado $y \in \mathbb R$, $H(A, y) = \{x \in \mathbb R: (x, y) \in A\}$. Analogamente, dado $x \in \mathbb R$, denotamos por $V(A, x) = \{y \in \mathbb R: (x, y) \in A\}$. 
</WRAP>
 

**~~#.#~~** Mostre que existe $A \subset \mathbb R^2$ tal que $H(A, y)$ é denso em $\mathbb R$ para todo $y \in \mathbb R$ e que $V(A, x)$ tem no máximo um ponto para cada $x \in \mathbb R$.

**~~#.#~~** Mostre que existe $f: \mathbb R \to \mathbb R$ tal que, para todo $y$, $\{x \in \mathbb R: f(x) = y\}$ é denso em $\mathbb R$. <wrap tip>[[dica:retasDensas|Dica]]</wrap>


<WRAP tip>
Esta lista foi baseada no livro [[http://books.google.com.br/books/about/Set_Theory_for_the_Working_Mathematician.html?id=tTEaMFvzhDAC&redir_esc=y|Set Theory for the Working Mathematician]] de Krzysztof Ciesielski.
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