===== Dualidade de Stone =====

<WRAP tip>
Provavelmente você vai querer olhar esta [[lista:corpoDeConjuntos|lista]] antes e ter feitos algumas listas básicas de topologia.
</WRAP>

**~~#~~** Seja $A$ uma álgebra de Boole. Considere $B = \{a^*: a \in A\}$.

**~~#.#~~** Mostre que $B$ é uma base para uma topologia sobre $Ult(A)$. Este é chamado de {{entry>espaço de Stone}} de $A$. Neste caso, denotamos $Ult(A)$ com esta topologia por {{entry>$s(A)$}}.

**~~#.#~~** Mostre que o espaço de Stone de $A$ é de Hausdorff.

**~~#.#~~** Este é um roteiro para mostrar que o espaço de Stone de $A$ é compacto. Considere $\mathcal C = \{a^*_i: i \in I\}$ uma cobertura por abertos básicos. Suponha que $\mathcal C$ não admita subcobertura finita.

**~~#.#.#~~** Mostre que a família $\mathcal F = \{-a_i: i \in I\}$ é centrada.<wrap tip>[[dica:familiaCentrada|Dica]]</wrap>

**~~#.#.#~~** Conclua que existe um ultrafiltro que não é coberto por $\mathcal C$.

**~~#.#.#~~** Mostre que o espaço de Stone é compacto.

**~~#.#~~** Seja $V$ um aberto fechado no espaço de Stone de $A$. Mostre que existe $a_V \in A$ tal que $V = a_V^*$.<wrap tip>[[dica:acharA|Dica]]</wrap>

<WRAP info>
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $X$ é {{entry>$0$-dimensional}} se $X$ admite uma base de abertos fechados.
</WRAP>

<WRAP info>
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $X$ é um {{entry>espaço booleano}} se $X$ é compacto, $0$-dimensional e $T_1$.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que todo espaço boooleano é de Hausdorff.

**~~#~~** Seja $A$ uma álgebra de Boole. Mostre que o espaço de Stone de $A$ é um espaço booleano.

<WRAP info>
Seja $(x, \tau)$ espaço booleano. Denotamos por {{entry>$Clop(X)$}} o conjunto $\{V \subset X: V$ é aberto e fechado$\}$. 
</WRAP>

**~~#~~** Seja $X$ um espaço booleano. Mostre que $Clop(X)$ é uma álgebra de Boole com as operações usuais.


**~~#~~** Seja $A$ uma álgebra de Boole. Mostre que $\varphi: A \rightarrow Clop(Ult(A))$ dada por $\varphi(a) = a^*$ é um isomorfismo de álgebras de Boole.

**~~#~~** Seja $X$ um espaço booleano. Este é um roteiro para mostrar que $X$ é homeomorfo a $Ult(Clop(X))$. 

**~~#.#~~** Dado $x \in X$, mostre que $u_x = \{A \in Clop(X): x \in A\}$ é um ultrafiltro sobre $Clop(X)$.  

**~~#.#~~** Defina $h: X \rightarrow Ult(Clop(X))$ dada por $h(x) = u_x$. Mostre que $h$ é uma bijeção.

**~~#.#~~** Mostre que $h$ é contínua. Conclua que $h$ é um homeomorfismo.