===== Densos, bases e produtos =====

<WRAP tip>
Provavelmente você vai querer saber os resultados da [[lista:DensosBases|lista de densos $\times$ bases]] e da [[lista:ProdutosInfinitos|lista de produtos infinitos]].
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**~~#~~** Para cada $n \in \omega$, seja $(X_n, \tau_n)$ espaço topológico. Se cada $X_n$ tem base enumerável, mostre que $\prod_{n \in \omega} X_n$ tem base enumerável.

**~~#~~** Este é um roteiro para mostrar que $\prod_{a \in A} \omega$ é separável, se $|A| \leq \mathfrak c = |\mathbb R|$ (estamos considerando $\omega$ com a topologia usual, isto é, a discreta).

**~~#.#~~** Primeiramente, note que podemos supor $A \subset \mathbb R$. 

**~~#.#~~** Considere $\mathcal B_0 = \{]p, q[ \cap A: p, q \in \mathbb Q\}$. Note que $\mathcal B_0$ é enumerável.

**~~#.#~~** Para cada $n > 0$, seja $\mathcal B_n$ a coleção de todos os conjuntos que podem ser dados como uma união de exatamente $n$ elementos de $\mathcal B_0$ dois a dois disjuntos. Note que $\mathcal B_n$ é enumerável.

**~~#.#~~** Fixe $n \in \omega_{\geq 1}$. Para cada $(a_1, ..., a_n) \in \omega^n$ e cada $\{J_1, ..., J_n\} \in \mathcal B_n$ (vamos supor $J_i < J_j$ se $i < j$, isto é, todo elemento de $J_i$ é menor que todo elemento de $J_j$), defina $f_{(a_1, ..., a_n), \{J_1, ..., J_n\}}: A \rightarrow \omega$ por 
$$f_{(a_1, ..., a_n), \{J_1, ..., J_n\}}(\alpha) = a_i \text{se $\alpha \in J_i$}$$
$$f_{(a_1, ..., a_n), \{J_1, ..., J_n\}}(\alpha) = 0 \text{se $\alpha \notin J_i$}$$

**~~#.#~~** Mostre que o conjunto de todas as funções acima (com $n$ fixado) é enumerável. Defina $D$ o conjunto de todas estas funções (com $n$ variando). Note que $D$ é enumerável.

**~~#.#~~** Mostre que $D$ é denso em $\prod_{a \in A} \omega$. <wrap help>[[Solucao:densoem2omega|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Este é um roteiro para mostrar que, se cada $(X_a, \tau_a)$ é um espaço separável, então $\prod_{a \in A} X_a$ é um espaço separável se $|A| \leq \mathfrak c$. 

**~~#.#~~** Para cada $a \in A$, fixe $D_a \subset X_a$ denso enumerável. Mostre que $\prod_{a \in A} D_a$ é denso em $\prod_{a \in A} X_a$

**~~#.#~~** Para dada $a \in A$, fixe $\varphi_a: \omega \rightarrow D_a$ bijeção. Note que cada $\varphi_a$ é contínua.

**~~#.#~~** Defina $\varphi: \prod_{a \in A} \omega \rightarrow \prod_{a \in A} D_a$ com $\varphi((a_n)_{n \in \omega}) = ((\varphi_n(a_n))_{n \in \omega})$. Mostre que $\varphi$ é contínua.

**~~#.#~~** Conclua que $\prod_{a \in A} D_a$ é separável e que, portanto, $\prod_{a \in A} X_a$ também é.

**~~#~~** Este é um roteiro para mostrar que $2^\kappa$ não é separável se $\kappa > \mathfrak c$. 

**~~#.#~~** Suponha que $D$ seja um denso enumerável em $2^\kappa$. Para cada $\xi < \kappa$, defina $D_\xi = \{f \in 2^\kappa: f(\xi) =  0\} \cap D$. Mostre que cada $D_\xi \neq \emptyset$.

**~~#.#~~** Mostre que se $\xi \neq \eta$, então $D_\xi \neq D_\eta$.<wrap tip>[[dia:2kappanaosep|Dica]]</wrap>

**~~#.#~~** Obtenha uma contradição.

<WRAP tip>O último exercício fica mais interessante se você fizer a lista de [[lista:produtoccc|Produtos de espaços ccc]].</WRAP>