===== Densos $\times$ bases =====
Como o nome sugere, provavelmente você vai querer saber os resultados da [[lista:Densos|lista de densos]] e da [[lista:Bases|lista de bases]]. A [[lista:enumerabilidade|lista de enumerabilidade]] pode ajudar em alguns exercícios também.
**~~#~~** Mostre que se $(X, \tau)$ tem base enumerável, então $X$ é separável.[[dica:baseEnumeravelSeparavel|Dica]][[solucao:DensosxBases1|Solução]]
**~~#~~** Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Seja $Y$ denso em $X$. Mostre que, se $Y$ é separável, então $X$ é separável. [[solucao:DensosxBases.2|Solução]]
**~~#~~** Seja $(X, d)$ espaço métrico. Mostre que se $X$ é separável, então $X$ tem base enumerável.[[dica:MetricoSeparavel|Dica]][[solucao:DensosxBases3|Solução]]
**~~#~~** Seja $(X, \tau)$ espaço topológico com base enumerável. Mostre que, dado $Y \subset X$, $Y$ é separável.[[solucao:subespacoseparavel|Solução]]
**~~#~~** Considere $P = \{(x, y) \in \mathbb R^2: y \geq 0\}$. Considere sobre $P$ a seguinte topologia. Se $(x, y)$ é tal que $y > 0$, então os abertos básicos em torno de $(x, y)$ são as bolas abertas usuais centradas em $(x, y)$ (métrica euclidiana). Dado $(x, 0) \in P$, um aberto básico em torno de $(x, 0)$ é d forma $B_r((x, r)) \cup \{(x, 0)\}$ ($B_r(x, y)$ é a bola centrada em $(x, y)$ de raio $r$ com a métrica euclidiana). Este espaço é chamado de {{entry>plano/Niemytski;plano de Niemytski}}.[[solucao:DensosxBases 5|Solução]]
**~~#.#~~** Mostre que tal espaço é separável.
**~~#.#~~** Mostre que $\{(x, 0): x \in \mathbb R\}$ é um discreto não enumerável (e, portanto, não separável). Ser {{entry>espaço/discreto; discreto}} quer dizer que, com a topologia de subespaço, tem a topologia discreta.
**~~#.#~~** Mostre que tal espaço não tem base enumerável.[[dica:semBaseEnum|Dica]]
Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Dizemos que $X$ é {{entry>espaço/metrizável; metrizável}} se existe $d$ métrica sobre $X$ tal que a topologia induzida por $d$ é a própria $\tau$.
**~~#~~** Mostre que o plano de Niemystki não é metrizável.[[solucao:DensosxBases6|Solução]]