===== Corpo de Conjuntos =====

<WRAP tip>
Provavelmente você vai querer olhar a [[lista:algebraBoole|lista de álgebra de Boole]] antes desta.
</WRAP>

<WRAP info>
Dada uma álgebra de Boole $A$, dizemos que $B$ é uma {{entry>subálgebra}} de $A$ se $0, 1 \in B$ e $B$ com as operações induzidas por $A$ é uma álgebra de Boole.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que, dada uma álgebra de Boole $A$, $B \subset A$ é uma subálgebra se, e somente se, $B \neq \emptyset$ e $B$ é fechado pelas operações induzidas por $A$.

<WRAP info>
Dizemos que uma família $\mathcal A \subset \wp(X)$ para algum $X$ é um {{entry>corpo de conjuntos}} se ela é uma álgebra de Boole com as operações usuais ($\cup, \cap, \smallsetminus$).
</WRAP>

**~~#~~** Seja $X$ um conjunto infinito. Mostre que {{entry>$FinCofin(X)$}} $= \{A \subset X: A$ é finito ou $X \smallsetminus A$ é finito$\}$ é um corpo de conjuntos.

**~~#~~** Note que se $X$ é infinito, $FinCofin(X)$ não é completa.

**~~#~~** Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Mostre que $\mathcal A = \{A \subset X: A$ é aberto fechado$\}$ é um corpo de conjuntos.

<WRAP info>
Seja $A$ uma álgebra de Boole. Defina {{entry>$Ult(A)$}} $= \{u \in \wp(A): u$ é ultrafiltro sobre $A\}$. Dado $a \in A$, defina {{entry>$a^*$}} $= \{u \in Ult(A): a \in u\}$.
</WRAP>


**~~#~~** Sejam $A$ uma álgebra de Boole e $a, b \in A$. 

**~~#.#~~** Mostre que $a^* \cup b^* = (a + b)^*$

**~~#.#~~** Mostre que $a^* \cap b^* = (ab)^*$

**~~#.#~~** Mostre que $(-a)^* = Ult(A) \smallsetminus a^*$

<WRAP info>
Sejam $A$ e $B$ álgebras de Boole. Dizemos que $\varphi: A \rightarrow B$ é um {{entry>homomorfismo}} de álgebras de Boole se 
  * $\varphi(a + b) = \varphi(a) + \varphi(b)$
  * $\varphi(ab) = \varphi(a)\varphi(b)$
  * $\varphi(1) = 1$
  * $\varphi(0) = 0$ para todo $a, b \in A$. Se, além disso, $\varphi$ for bijetora, dizemos que $\varphi$ é um {{entry>isomorfismo}}.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que se $\varphi: A \rightarrow B$ é homomorfismo, então $\varphi(-a) = -\varphi(a)$ para todo $a \in A$.


**~~#~~** Mostre que toda álgebra de Boole é isomorfa a um corpo de conjuntos.