===== Compactos =====

<WRAP info>
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que $\mathcal C$ é uma {{entry>cobertura}} para $X$ se $\bigcup_{C \in \mathcal C} C = X$. Dizemos que uma cobertura $\mathcal C$ é uma {{entry>cobertura/aberta; cobertura aberta}} se cada elemento de $\mathcal C$ é aberto. Dizemos que $\mathcal C' \subset \mathcal C$ é uma {{entry>subcobertura}} de $\mathcal C$ se $\mathcal C$ também é uma cobertura.
</WRAP>

<WRAP info>
Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Dizemos que $X$ é compacto se para toda cobertura aberta $\mathcal C$ existe uma subcobertura finita.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que todo espaço finito é compacto.

**~~#~~** Seja $(X, \tau)$ espaço topológico e $\mathcal B$ base para $X$. Mostre que são equivalentes:<wrap help>[[Solucao:exer2-compactos|Solução]]</wrap>
  - $X$ é compacto
  - Toda cobertura $\mathcal C$ tal que todo $C \in \mathcal C$ é tal que $C \in \mathcal B$, temos que $\mathcal C$ tem subcobertura finita. 

**~~#~~** Sejam $Y \subset X$. Mostre que $Y$ é compacto se, e somente se, para toda família $\mathcal C$ de abertos de $X$ tal que $Y \subset \bigcup_{C \in \mathcal C} C$, existe uma subfamília $\mathcal C' \subset \mathcal C$ finita tal que $Y \subset \bigcup_{C \in \mathcal C'} C$ <wrap help>[[Solucao:exer3-compactos|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $f: X \rightarrow Y$ função contínua. Mostre que se $X$ é compacto, então $f[X]$ é compacto.<wrap help>[[Solucao:imagemcontinuacompacto=compacto|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $F \subset X$ fechado. Mostre que se $X$ é compacto, então $F$ é compacto.<wrap help>[[Solucao:fechadocompacto|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $X$ espaço de Hausdorff. Mostre que se $K \subset X$ é compacto, então $K$ é fechado.<wrap tip>[[dica:compactoT2|Dica]]</wrap><wrap help>[[Solucao:hausdorf->compacto=fechado|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Considere $[0, 1]$ com a topologia usual. Seja $\mathcal C$ cobertura aberta para $[0, 1]$.

**~~#.#~~** Defina $A = \{x \in [0, 1]:$ existe $\mathcal C' \subset \mathcal C$ finito tal que $\bigcup_{C \in \mathcal C'}C \supset [0, x]\}$. Mostre que $A \neq \emptyset$.

**~~#.#~~** Seja $\alpha = \sup A$ (existe, certo?). Mostre que $\alpha \geq 1$ (e, portanto, $\alpha = 1$).<wrap tip>[[dica:supremo|Dica]]</wrap>

**~~#.#~~** Mostre que $1 \in A$.

**~~#.#~~** Conclua que $[0, 1]$ é compacto.

**~~#~~** Mostre que são equivalentes: <wrap help>[[Solucao:exer8-compactos|Solução]]</wrap>
  - $X$ é compacto;
  - Toda cobertura aberta $\mathcal C$ para $X$ fechada por uniões finitas é tal que $X \in \mathcal C$.

<WRAP info>
Seja $\mathcal F$ uma família de conjuntos. Dizemos que $\mathcal F$ é uma {{entry>família/centrada;família centrada}} se, para qualquer $\mathcal F' \subset \mathcal F$ finito, temos que $\bigcap_{F \in \mathcal F'} F \neq \emptyset$. 
</WRAP>

**~~#~~** Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Mostre que são equivalentes:<wrap tip>[[dica:compactoCentrada|Dica]]</wrap> <wrap help>[[Solucao:exer9-compactos|Solução]]</wrap>
  - $X$ é compacto.
  - Toda família centrada $\mathcal F$ de fechados de $X$ é tal que $\bigcap_{\mathcal F} F \neq \emptyset$. 

<WRAP info>
Seja $(X, d)$ métrico. Dizemos que $A \subset X$ é {{entry>conjunto/limitado; limitado}} se existem $x \in X$ e $r \in \mathbb R_{>0}$ tais que $A \subset B_r(x)$.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que todo intervalo fechado e limitado em $\mathbb R$ é compacto. <wrap help>[[Solucao:limitadofechado=compacto|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $(X, d)$ espaço métrico. Mostre que se $A \subset X$ não é limitado, então $A$ não é compacto.<wrap help>[[Solucao:naolimitado=naocompact|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que $K \subset \mathbb R$ é compacto se, e somente se, $K$ é fechado e limitado.

**~~#~~** Seja $K$ espaço compacto. Mostre que, se $f: K \rightarrow \mathbb R$ é uma função contínua, então existem $a, b \in K$ tais que $f(a) \leq f(x) \leq f(b)$ para todo $x \in K$ (nesse caso, dizemos que $f$ tem máximo e mínimo).<wrap help>[[Solucao:exerc13-compactos|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $(X, \tau)$ espaço de Hausdorff. Mostre que, dado $x \in X$ e $K \subset X$ compacto tais que $x \notin K$, existem $A, B$ abertos disjuntos tais que $x \in A$ e $K \subset B$.<wrap tip>[[dica:compactoEhRegular|Dica]]</wrap><wrap help>[[Solucao:exerc14- compactos|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que todo compacto de Hausdorff é normal.<wrap help>[[Solucao:compacthaursdorff = normal|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Sejam $X$ e $Y$ de Hausdorff. Seja $f: X \rightarrow Y$ função contínua, onde $X$ é compacto. Mostre que se $f$ é bijetora, então $f$ é um homeomorfismo.