===== Aumentando o universo =====

<WRAP info>
Seja $x$ um conjunto. Definimos o {{entry>nome}} $\check{x}$ de maneira recursiva da seguinte forma:
$$ \check{x} = \{(\check{y},1) : y \in x\} $$

Observe que:
  - $\check{\emptyset}=\emptyset$;
  - Se $x \in y$, então $\check{x} \in \text{dom}(\check{y})$.  
</WRAP>

Começamos com algumas propriedades úteis de conjuntos e nomes.

**~~#~~** Sejam $x,y$ conjuntos, mostre que: <wrap tip>[[dica:Inducao|Dica]]</wrap>

**~~#.#~~** Se $x \in y$, então $[\![ \check{x} \in \check{y} ]\!]= 1$.  

**~~#.#~~** Se $x \notin y$, então $[\![ \check{x} \in \check{y} ]\!]= 0$.  

**~~#.#~~** Se $x \subseteq y$, então $[\![ \check{x} \subseteq \check{y} ]\!]= 1$.  

**~~#.#~~** Se $x \not\subseteq y$, então $[\![ \check{x} \subseteq \check{y} ]\!]= 0$.  

<WRAP info>
Dizemos que um nome $x$ é um {{entry>2-nome}} se todo $y \in \text{dom}(x)$ é {{entry>2-nome}} e $\text{Im}(x) \subseteq \{0,1\}$.

Exemplo:

 Para todo $x$ conjunto, $\check{x}$ é um {{entry>2-nome}}.
</WRAP>

**~~#~~** Este é um roteiro para mostrar que se $x$ é um {{entry>2-nome}}, então existe um único conjunto $a$ tal que $[\![ x = \check{a} ]\!]=1$.

**~~#.#~~** (Existência) Note que por hipótese de indução, temos que para todo $y \in \text{dom}(x)$ vale que $\exists a_{y}$ tal que $[\![ y = \check{a_{y}} ]\!]=1$. Considere $a=\{a_{y} : y \in \text{dom}(x) , x(y)=1\}$.

**~~#.#~~** Mostre que $[\![ \check{a} = x ]\!]=1$.

**~~#.#~~** (Unicidade) Se $a,b$ são conjuntos tais que $[\![ x = \check{a} ]\!]=1=[\![ x = \check{b} ]\!]$, conclua que $a=b$.

**~~#.#~~** Conclua o resultado.

<WRAP tip>
A partir de agora faremos uma relação entre alguns tipos de fórmulas entre uma álgebra de Boole completa $\mathcal{A}$ e a álgebra de Boole trivial $\{0,1\}$.
</WRAP>


**~~#~~** Fixada uma fórmula $\varphi (v_{1},\ldots,v_{n})$, sejam $x_{1},\ldots,x_{n}$ conjuntos. Então
$$ \varphi(x_{1},\ldots,x_{n}) \iff [\![ \varphi(\check{x_{1}},\ldots,\check{x_{n}}) ]\!]_{2} =1 $$

onde $[\![ \cdot ]\!]_{2}$ é tomado com relação à álgebra de Boole $\{0,1\}$. <wrap tip>[[dica:formula1|Dica]]</wrap>

<WRAP tip>
Mas mesmo quando a álgebra de Boole é qualquer ainda temos controle sobre as
fórmulas $\Delta_{0}$, isto é:
</WRAP>

**~~#~~** Este é um roteiro para provar que fixada uma fórmula $\Delta_{0}$ $\varphi (v_{1},\ldots,v_{n})$ e $x_{1},\ldots,x_{n}$ conjuntos, então 
$$ \varphi(x_{1},\ldots,x_{n}) \iff [\![ \varphi(\check{x_{1}},\ldots,\check{x_{n}}) ]\!]=1 $$

**~~#.#~~** Fixe uma fórmula $\Delta_{0}$ $\varphi (v_{1},\ldots,v_{n})$. Sejam $x_{1},\ldots,x_{n}$ conjuntos. Mostre que 
$$[\![ \varphi(\check{x_{1}},\ldots,\check{x_{n}}) ]\!] = [\![ \varphi(\check{x_{1}},\ldots,\check{x_{n}}) ]\!]_{2}       $$
onde $[\![ \cdot ]\!]_{2}$ indica o cálculo do valor com relação à álgebra de Boole $\{0,1\}$. <wrap tip>[[dica:final1|Dica]]</wrap>

**~~#.#~~** Conclua o resultado.

**~~#~~** Usando o resultado anterior mostre que $[\![ \check{\alpha} \text{ é um ordinal} ]\!]=1$, para todo $\alpha$ ordinal. <wrap tip>[[dica:exemplo1.1|Dica]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que o axioma do infinito tem valor $1$. <wrap help>[[dica:I|Solução]]</wrap>

<WRAP tip>
Para continuar fixaremos algumas notações. Considere a relação $R = \{(a,b) \in \mathcal{A}^{2} : a \leq b\}$. Pelo que foi feito anteriormente temos $a \leq b$ se, e somente se, $[\![ \check{(a,b)} \in \check{R} ]\!] =1$. Adotaremos então a seguinte notação $[\![ \check{(a,b)} \in \check{R} ]\!] = [\![ \check{a} \leq \check{b} ]\!]$. Lembremos que formalmente $(a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\}$, de modo que faz sentido falar em $\check{(a,b)}$.  
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que se vale $a \leq b$, então $[\![ \check{a}\leq\check{b} ]\!] =1$, e se não vale $a \leq b$ temos $[\![ \check{a} \leq \check{b} ]\!]=0$.

<WRAP info>
Chamamos de $\dot{G}$ o {{entry>nome}} 
$$ \dot{G} = \{(\check{a},a) : a \in \mathcal{A}\} $$ 
onde $\mathcal{A}$ é nossa álgebra de Boole completa fixada.
</WRAP>

**~~#~~** Seja $a \in \mathcal{A}$, mostre que $[\![ \check{a} \in \dot{G} ]\!]= a$. Em particular $[\![ \check{1} \in \dot{G}  ]\!]= 1$ e $[\![ \check{0} \in \dot{G} ]\!]= 0$.
 <wrap tip>[[dica:Induc|Dica]]</wrap>

<WRAP tip>
Para o próximo exercício você pode utilizar (sem demonstrar) o seguinte fato: se \(y\) é um nome e \(\phi\) uma fórmula, então

  - \(\displaystyle [\![\exists x \in y \,\, \phi(x)]\!] = \sup_{x \in \text{dom}(y)} y(x)[\![\phi(x)]\!]\)
  - \(\displaystyle [\![\forall x \in y \,\, \phi(x)]\!] = \inf_{x \in \text{dom}(y)} (y(x) \Rightarrow [\![\phi(x)]\!])\)

Mas não se preocupe, tudo isso será demonstrado [[lista:axsepaxpart|nessa lista]].
</WRAP>


**~~#~~** Este é um roteiro para mostrar que $[\![ \dot{G} \text{ é filtro sobre } \check{\mathcal{A}} ]\!]= 1$.

**~~#.#~~**  Mostre que $[\![ \dot{G} \not= \emptyset ]\!]=1$. <wrap tip>[[dica:filtro1|Dica]]</wrap>

**~~#.#~~**  Mostre que $[\![ \forall p \in \dot{G} \,\, \forall q \in \dot{G} \Rightarrow \exists r \in \dot{G} \,\, r \leq p \land r \leq q ]\!]=1$. <wrap tip>[[dica:filtro2|Dica]]</wrap>

**~~#.#~~**  Mostre que $[\![ \forall p \in \dot{G} \,\, \forall q \in \check{\mathcal{A}} \,\, p \leq q \Rightarrow q \in \dot{G} ]\!]=1$. <wrap tip>[[dica:filtro3|Dica]]</wrap>

**~~#.#~~** Conclua o resultado.

<WRAP info>
Dizemos que $X\subseteq \mathcal{A}$ é {{entry>denso}} se $0 \notin X$ e para todo $a\in \mathcal{A}$, $a \neq 0$, existe $x \in X$ tal que $x\leq a$.
</WRAP>

**~~#~~** Este é um roteiro para mostrar que se $D$ é {{entry>denso}} em $\mathcal{A}$, então $[\![ \dot{G} \cap \check{D} \not= \emptyset ]\!]=1$.

**~~#.#~~** Mostre que $[\![ \exists x \,\, x \in \check{D} \land x \in \dot{G} ]\!]=1$. <wrap help>[[dica:denso1|Solução]]</wrap>

**~~#.#~~** Conclua o resultado.

**~~#~~** Seja $\mathcal{A}$ álgebra de Boole completa.

**~~#.#~~** Mostre que se $a$ é um conjunto tal que $[\![ \check{a}\subseteq\dot{G} ]\!]=1$, então $\check{a}=\{(\check{1},1) \}$.

**~~#.#~~** Mostre que se $a$ é um conjunto tal que $[\![ \dot{G}=\check{a} ]\!]=1$, então $\mathcal{A} = \{0,1\}$.

**~~#.#~~** Conclua que se $\mathcal{A} \not= \{0,1\}$, então não existe um conjunto $a$ tal que $[\![ \check{a}=\dot{G} ]\!]=1$.