===== Algumas aplicações de Submodelos elementares =====
<WRAP tip>
Nesta lista consideraremos em todas as situações $H(\kappa)$ com $\kappa>\mathfrak c$ regular (mas você pode notar que não precisamos assumir $\kappa>\omega_2$ para alguns resultados!).
</WRAP>

Começamos com alguns resultados úteis de submodelos elementares de $H(\kappa)$:

**~~#~~** Seja $M\prec H(\kappa)$.

**~~#.#~~** Mostre que $\omega\in M$ e $\omega\subset M$.

**~~#.#~~** Mostre que se $a\in M$ e $a$ é enumerável, então $a\subset M$.

**~~#.#~~** Mostre que se $a \subset M$ e $a$ é finito, então $a\in M$.



====Lema do $\Delta$-sistema==== 
<WRAP info>
Dizemos que uma família $\mathcal{F}$ forma um {{entry>$\Delta$-sistema}} de {{entry>raiz}} $\Delta$ se para quaisquer $A,B\in\mathcal{F}$ distintos, $A\cap B=\Delta$.
</WRAP>




**~~#~~** O objetivo deste exercício é demonstrar o Lema do $\Delta$-sistema. Seja $\mathcal F$ uma família não enumerável de conjuntos finitos.

**~~#.#~~** Seja $M\prec H(\kappa)$ submodelo elementar enumerável tal que $\mathcal F\in M$. Note que existe $F_0\in \mathcal F\setminus M$.

**~~#.#~~** Tome $\Delta = M\cap F_0$. Note que $\Delta\in M$ e $\Delta\subset M$.

**~~#.#~~** Mostre que existe $F_1 \in \mathcal F \cap M$ tal que $\Delta \subset F_1$.

**~~#.#~~** Note que $F_1 \cap F_0 = \Delta$. 

**~~#.#~~** Suponha que não exista uma subfamília não enumerável que forma um $\Delta$-sistema de raíz $\Delta$. Mostre que existe $\mathcal F'$ subfamília maximal enumerável infinita com tal propriedade. <wrap tip>[[dica:mF_infinito|Dica]]</wrap>

**~~#.#~~** Note que podemos assumir que $\mathcal F'\in M$ e, portanto, $\mathcal F'\subset M$.

**~~#.#~~** Mostre que para qualquer $F\in \mathcal F'$, $F\cap F_0=\Delta$. Conclua que $\mathcal F'$ não é maximal, uma contradição.

**~~#.#~~** (Lema do $\Delta$-sistema) Conclua que toda família não enumerável de conjuntos finitos possui uma subfamília não enumerável que forma um $\Delta$-sistema.





==== Boas cadeias elementares de submodelos enumeráveis ====

<WRAP info>
Dizemos que $\{M_\xi:\xi<\omega_1\}$ é uma {{entry>boa cadeia elementar de submodelos enumeráveis}} de $H(\kappa)$ se, para todo $\xi<\omega_1$:
  * $M_\xi\prec H(\kappa)$ e $M_\xi$ é enumerável;
  * $M_\xi\in M_{\xi+1}$;
  * $M_\xi=\bigcup_{\eta<\xi}M_\eta$, se $\xi$ é limite.
</WRAP>


**~~#~~** Mostre que existe uma boa cadeia elementar de submodelos elementares enumeráveis de $H(\kappa)$.



**~~#~~** Mostre que se $\{M_\xi:\xi<\omega_1\}$ é uma boa cadeia elementar de submodelos enumeráveis de $H(\kappa)$, então $\mathcal{P}(M_\xi)\in M_{\xi+1}$ para todo $\xi<\omega_1$.




**~~#~~** Sejam $M, N\prec H(\kappa)$ enumeráveis tais que $M\subset N$ e $M\in N$. 

**~~#.#~~** Mostre que $M\cap\omega_1\in\omega_1$.

**~~#.#~~** Mostre que $M\cap\omega_1\in N$.

**~~#.#~~** Conclua que existe um ordinal $\alpha\in\omega_1$ tal que $\alpha\in N\setminus M$.

**~~#~~** Mostre que se $\{M_\xi:\xi<\omega_1\}$ é uma boa cadeia elementar de submodelos elementares enumeráveis de $H(\kappa)$, então $\omega_1\subset \bigcup_{\xi<\omega_1}M_\xi$.



<WRAP info>
Dizemos que um submodelo elementar é {{entry>enumeravelmente fechado}} se, para todo $E\subset M$ enumerável, $E\in M$.
</WRAP>

**~~#~~** Este é um roteiro para mostrar a existência de um submodelo elementar de tamanho contínuo.

**~~#.#~~** Fixe $M_0$ submodelo elementar tal que $|M_0| \leq \mathfrak c$. 

**~~#.#~~** Para cada $\alpha < \omega_1$, se $\alpha = \beta + 1$, considere $M_{\alpha}$ como um submodelo elementar que contenha $M_\beta \cup [M_\beta]^\omega$. Se $\alpha$ é limite, considere $M_\alpha = \bigcup_{\xi < \alpha} M_\xi$. Note que em ambos os casos temos $|M_\alpha| \leq \mathfrak c$ e que $M_\xi \preceq M_\alpha$ se $\xi < \alpha$.

**~~#.#~~** Mostre que $M = \bigcup_{\alpha < \omega_1} M_\alpha$ é enumeravelmente fechado e de cardinalidade $\mathfrak c$. 

**~~#~~** Seja $\{M_\xi:\xi<\omega_1\}$ uma boa cadeia elementar de submodelos enumeráveis de $H(\kappa)$ e $E\subset M=\bigcup_{\xi<\omega_1}M_\xi$ enumerável. Vamos assumir CH neste exercício, isto é, que $2^\omega=\omega_1$.

**~~#.#~~** Note que $E\subset M_\alpha$ para algum $\alpha<\omega_1$.

**~~#.#~~** Mostre que existe uma função $g\colon \omega_1\to\mathcal P(M_\alpha)$ sobrejetora tal que $g\in M_{\alpha+1}$.

**~~#.#~~** Conclua que $E\in M$ e, portanto, $M$ é enumeravelmente fechado.

==== Uma aplicação topológica ====

**~~#~~** Este é um roteiro para mostrar o resultado que todo espaço compacto de Hausdorff com bases locais enumeráveis tem cardinalidade no máximo $\mathfrak c$. Fixe $X$ com tais hipóteses e seja $M$ submodelo elementar enumeravelmente fechado tal que $|M| = \mathfrak c$ e que contenha o que for necessário (é um bom exercício no final verificar o que exatamente foi necessário).

**~~#.#~~** Suponha $x \in X \setminus M$ tal que $x \in \overline{M \cap X}$. Mostre que existe $(x_n)_{n \in \omega}$ sequência de elementos de $X \cap M$ que é um elemento de $M$ e que $x_n \rightarrow x$.

**~~#.#~~** Note que a afirmação da sequência $(x_n)_{n \in \omega}$ ser convergente é verdade em $M$. Conclua que existe $y \in M$ tal que $x_n \rightarrow y$. 

**~~#.#~~** Mostre que $x = y$.

**~~#.#~~** Conclua que $X \cap M$ é fechado (e, portanto, compacto).

**~~#.#~~** Dado $x \in X \cap M$, mostre que existe $\mathcal V \in M$ base local enumerável para $x$. Conclua que $\mathcal V \subset M$. 

**~~#.#~~** Suponha que exista $z \in X \setminus M$. Construa uma cobertura aberta para $X \cap M$ feita por elementos de $M$ que não contenham $z$ (a cobertura em si não precisa ser elemento de $M$).

**~~#.#~~** Por compacidade, existe subcobertura $\mathcal C$ da cobertura acima. Conclua que $\mathcal C \in M$.

**~~#.#~~** Obtenha uma contradição a partir do item anterior. Conclua que não existe tal $z$. Isto é, $X \subset M$ e, portanto, temos o resultado.

**~~#~~** Refaça o roteiro anterior notando onde você usa cada uma das seguintes hipóteses: Hausdorff, compacidade, base enumerável local e $M$ ser enumeravelmente fechado. Com adaptações simples, algumas dessas hipóteses podem ser enfraquecidas. Consegue exibir alguma?

==== Ordens ccc ====
<WRAP info>
Dado um conjunto $I$, seja $f\colon [I]^2\to 2$. Para cada $i=0,1$ definimos a seguinte ordem parcial:
\[\mathbb P_i = \{X\in [I]^{<\omega}:\forall\alpha\neq\beta\in X, f(\{\alpha,\beta\})=i\}\]
com a ordem $X\le Y$ se $X\supset Y$.
</WRAP>



**~~#~~** Seja $I$ não enumerável, $f\colon [I]^2\to 2$ e considere $\mathbb P_0\times \mathbb P_1$ com a ordem usual induzida no produto. Mostre que $\mathcal A = \{(\{a\}, \{a\}): a\in I\}$ é uma anticadeia e conclua que $\mathbb P_0\times \mathbb P_1$ não é ccc.



**~~#~~** Suponha que, para uma dada $f\colon [\omega_1]^2\to 2$, $\mathbb P_i$ não é ccc. Mostre que $\mathbb P_i$ contém uma anticadeia não enumerável de elementos dois a dois disjuntos. <wrap tip>[[dica:nccc_implica_muito_nccc|Dica]]</wrap>



**~~#~~** Seja $\{M_\xi: \xi<\omega_1\}$ uma boa cadeia elementar de submodelos elementares enumeráveis de $H(\kappa)$. Construiremos neste exercício uma sequência de funções $(g_\xi:\xi<\omega_1)$ de modo que $g_\xi\colon \xi\to 2$ e:
  - $g_\xi\in M_{\xi+1}$;
  - se $E\in M_\xi$ é um conjunto enumerável infinito de subconjuntos finitos de $\xi$ dois a dois disjuntos, então existem infinitos $X\in E$ tais que
\[\forall\alpha\in X, g_\xi(\alpha)=i,\]
para $i=0,1$.

**~~#.#~~** Note que a condição 2 é trivialmente satisfeita quando $\xi$ é finito.

**~~#.#~~** Note que fixado $\xi$ infinito, podemos enumerar a coleção dos conjuntos $E$'s de $M_\xi$ relevantes para a condição 2 como $\{E_n:n\in\omega\}$ de modo que, para cada $E$, $\{m\in\omega: E_m=E\}$ possui infinitos ímpares e infinitos pares.

**~~#.#~~** Note que podemos escolher recursivamente uma família $\{X_n:n\in\omega\}$ de forma que
  * $X_i\in E_i$
  * $X_i\cap X_j=\emptyset$, se $j<i$.

**~~#.#~~** Dado $\alpha<\xi$, defina
\[g_\xi(\alpha)= 0  \text{ se $\alpha\in X_n$ e $n$ é par}\]
\[g_\xi(\alpha)=1  \text{ caso contrário } \]
Mostre que $g_\xi$ está bem definida e satisfaz as propriedades desejadas.




**~~#~~** Seja $f\colon [\omega_1]^2\to 2$ dada por \[f(\{\alpha,\beta\})=g_\alpha(\beta), \alpha>\beta,\]
onde $(g_\xi:\xi<\omega_1)$ é a sequência obtida no exercício anterior. Assumindo CH, mostre que $\mathbb P_i$ é ccc. <wrap tip>[[dica:Pi_ccc|Dica]]</wrap>



**~~#~~** Mostre que CH implica que existem $\mathbb P$ e $\mathbb Q$ ccc tais que $\mathbb P\times\mathbb Q$ não é ccc.