===== Álgebras de Boole Completas =====

<WRAP info>
Seja $A$ uma álgebra de Boole. Dizemos que $A$ é uma álgebra de Boole completa se todo subconjunto de $A$ admite supremo.
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**~~#~~** Seja $A$ uma álgebra de Boole completa. Fixadas $f, g: A \longrightarrow A$, e dado $X \subset A$. Mostre que $\sup_{x \in X} (f(x) + g(x)) = \sup_{x \in X} f(x) + \sup_{x \in X} g(x)$. <wrap help>[[Solucao:abc1|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $A$ uma álgebra de Boole completa e $X\subset A$. Dado $a \in X$, mostre que $-\inf_{a \in X} a = \sup_{a \in X} -a$. <wrap help>[[Solucao:abc2|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $A$ uma álgebra de Boole completa. Mostre que todo subconjunto de $A$ admite ínfimo. <wrap help>[[Solucao:abc3|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $A$ uma álgebra de Boole completa, $F: A \longrightarrow A$, e $X,Y \subset A$. Mostre que $\sup_{x \ \in X} \sup_{y \in Y} F(x, y) = \sup_{y \in Y} \sup_{x \in X} F(x, y)$. <wrap help>[[Solucao:abc4|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $A$ uma álgebra de Boole completa. Dados $X \subset A$ e $a \in A$. Mostre que:

**~~#.#~~** $\sup_{x \in X} a + x = a + \sup_{x \in X} x$  <wrap help>[[Solucao:abc51|Solução]]</wrap>

**~~#.#~~** $\sup_{x \in X} ax = a\sup_{x \in X} x$ <wrap help>[[Solucao:abc52|Solução]]</wrap>