Considere $\mathcal A = \{(B, B') \in \mathcal B^2: B \subset B'\}$. Fixe $C' \in \mathcal C$. Para cada $(B, B') \in \mathcal A$, escolha $C_{(B, B')} \in \mathcal C$ tal que $B \subset C_{(B, B')} \subset B'$ se existir tal $C_{(B, B')}$ ou faça $C_{(B, B)} = C'$ caso contrário. Mostre que $\mathcal C' = \{C_{(B, B')}: (B, B') \in \mathcal A\}$ satisfaz o desejado.