Lembrando que $\forall x \in S \,\, x \cup \{x\} \in S$ é uma notação para $\forall x (x \in S \Rightarrow x \cup \{x\} \in S)$.

Pelas definições de valoração temos $$[\![ \varphi ]\!] = \sup_{\tau} [\![ \emptyset \in \tau \wedge (\forall x \in \tau \,\, x \cup \{x\} \in \tau) ]\!]$$

Como "$\emptyset \in \omega \wedge (\forall x \in \omega \,\, x \cup \{x\} \in \omega)$" é uma fórmula \(\Delta_0\) que vale em ZFC, então $[\![ \check{\emptyset} \in \check{\omega} \wedge (\forall x \in \check{\omega} \,\, x \cup \{x\} \in \check{\omega}) ]\!] =1$.

Assim, pelo fato de $[\![ \check{\emptyset} \in \check{\omega} \wedge (\forall x \in \check{\omega} \,\, x \cup \{x\} \in \check{\omega}) ]\!] \leq [\![ \varphi ]\!]$, segue que $[\![ \varphi ]\!] =1$.