Topologia e conjuntos em exercícios

Sejam $\{x_n: n \in \omega\}$ e $\{q_n: n \in \omega\}$ enumerações para $X$ e $\mathbb Q$, respectivamente. Vamos construir um isomorfismo $f: X \rightarrow \mathbb Q$. 

Defina $f(x_0) = q_0$. Se $x_1 < x_0$, tome $n = min\{m \in \omega: q_m < q_0\}$, e se $x_1 > x_0$, tome $n = min\{m \in \omega: q_m > q_0\}$. Defina $f(x_1) = q_n$. Seguindo essa ideia, vamos definir $f$ por indução para todo $x_n \in X$: 

Suponha $f(x_0), f(x_1),..., f(x_{n-1})$ definidos. Temos 3 casos possíveis para $x_n$: 
  - Se $x_n < x_i, \forall i < n$, tome $k = min\{m \in \omega: q_m < f(x_i), \forall i < n\}$.
  - Se $x_n > x_i, \forall i < n$, tome $k = min\{m \in \omega: q_m > f(x_i), \forall i < n\}$.
  - Se existe $i,j < n$ tal que $x_i < x_n < x_j$. Tome $I = max\{x_m: x_m < x_n, m < n\}$ e $J = min\{x_m: x_m > x_n, m < n\}$. Note que estamos pegando o maior $x_i$ e o menor $x_j$ tais que $x_i < x_n < x_j$. Agora tome $k = min\{m: f(I) < q_m < f(J)\}$. 

Agora basta definir $f(x_n) = q_k$. 

Resta mostrar que $f$ definida dessa forma é de fato um isomorfismo de ordem. Temos que se $x_i < x_j$, então $f(x_i) < f(x_j)$. Note que com isso ganhamos também a injetividade de $f$. Mostremos agora a sobrejetividade.

Suponha que $f$ não é sobrejetora. Seja $m$ o menor índice tal que $q_m$ não está na imagem de $f$. Tome $n = min\{p \in \omega: \forall k < m, \exists s < p$  $f(x_s) = q_k\}$. Temos 3 casos possíveis:

  - $x_n < x_s, \forall s < n$.
  - $x_n > x_s, \forall s < n$.
  - Existem $a,b < n$ tais que $x_a < x_n < x_b$. 
Considerando o caso 3, suponha $x_a$ o maior possível e $x_b$ o menor possível satisfazendo a propriedade acima. Temos que $f(x_n) = q_m$ devido ao terceiro caso da construção de $f$, o que contraria a hipótese de $q_m$ não estar na imagem de $f$. Já os casos 1 e 2 caem na mesma contradição devido ao caso 1 e 2 da construção de $f$. 

Dessa forma concluímos que $f$ é sobrejetora, e portanto é um isomorfismo entre $X$ e $\mathbb Q$.
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