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Topologia e conjuntos em exercícios

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solucao:t1baire

Seja $(X,\tau)$ um espaço topológico $T_1$, sem pontos isolados e enumerável. Como $X$ é enumerável, tomemos $X = \{x_i : i \in \omega\}$.

Sem perda de generalidade, fixemos $x_1$. Como o espaço é $T_1$, para cada $x_i \in X$ com $i \neq 1$, existe $A_i \in \tau$ tal que $x_i \in A_i$ e $x_1 \notin A_i$. Assim, $\bigcup_{i \neq 1}A_i = X-\{x_1\} \in \tau$. De forma análoga, $X-\{x_i\} \in \tau$ para cada $i \in \omega$. Mais ainda, note que $X-\{x_i\}$ é denso, pois dado $Y \subset X$, $X-\{x_i\} \cap Y = \emptyset \Longleftrightarrow Y=\emptyset$ ou $Y=\{x_i\}$, e $\{x_i\} \notin \tau$, pois o espaço não tem pontos isolados.

Finalmente, note que $\bigcap_{i\in\omega}X-\{x_i\} = \emptyset$, portanto $(X,\tau)$ não é espaço de Baire.

solucao/t1baire.txt · Última modificação: 2020/11/06 16:05 (edição externa)

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