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Topologia e conjuntos em exercícios
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solucao:sigmacompactomenger
Sejam $(X,\tau)$ um espaço $\sigma$-compacto e $(K_n)_{n\in\omega}$ compactos tais que $X = \bigcup_{n\in\omega}K_n$. Suponha que na primeira jogada o jogador I escolhe a cobertura aberta $C_1$ de $X$. Em particular, $C_1$ é cobertura de $K_1$, e portanto, pela compacidade de $K_1$, existe $C'_1 \subset C_1$ finito tal que $C'_1$ é cobertura de $K_1$. Consideremos $C'_1$ a jogada do jogador II. Repetindo o mesmo processo, na $n$-ésima jogada o jogador I escolhe uma cobertura aberta $C_n$ de $X$ e o jogador II escolhe $C'_n \subset C_n$ uma cobertura finita de $K_n$. Desta forma, ao fim do jogo temos que $\bigcup_{n\in\omega}C'_n = \bigcup_{n\in\omega}K_n = X$. Portanto $(X,\tau)$ é um espaço de Menger.
solucao/sigmacompactomenger.txt
· Última modificação: 2020/11/06 16:05 (edição externa)
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