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Topologia e conjuntos em exercícios

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solucao:psihausdorff

Queremos mostrar que $\psi(\mathcal{F})$ é Hausdorff. Sejam $x,y \in \psi( \mathcal{F})$, com $x \neq y$. Vamos analisar os seguintes casos:

  * Se $x,y \in \omega$, basta tomar $A = \{x\}$ e $B = \{y\}$.
  * Se $x \in \omega$ e $y \in \mathcal{F}$. Aqui temos dois casos a serem analisados. Se $x \in y$, tome $A = \{x\}$ e $B = \{y\} \cup (y \setminus \{x\})$. No caso em que $x \notin y$, tome $A = \{x\}$ e $B = \{y\} \cup y$.
  * Se $x, y \in \mathcal{F}$, como $\mathcal{F}$ é localmente finita, $x \cap y$ é finito. Defina $A = \{x\} \cup (x \setminus (x \cap y)){}$ e $B = \{y\} \cup (y \setminus (x \cap y))$.
Portanto, $\psi(\mathcal{F})$ é Hausdorff.

solucao/psihausdorff.txt · Última modificação: 2020/11/06 16:05 (edição externa)

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