Topologia e conjuntos em exercícios

Mostremos que dada uma família não enumerável de abertos de $\prod_{\xi < \kappa} X_\xi$, eles não são dois a dois disjuntos. É suficiente supormos uma família $(A_\xi)_{\xi<\omega_1}$ de abertos básicos, pois caso contrário podemos refinar os abertos a abertos básicos e tomar uma subfamília com a cardinalidade de $\omega_1$ (já que $\omega_1$ é o menor não enumerável).

Temos que a família $(a_\xi)_{\xi<\omega_1}$, onde $a_\xi$ é o suporte de $A_\xi$, contém um $\Delta$-sistema não enumerável (pelo Lema do $\Delta$-sistema). Seja $\Delta$ a raiz do $\Delta$-sistema.

Se $\Delta = \emptyset$, temos que $A_\xi \cap A_\eta \neq \emptyset$ para todo $a_\xi$ e $a_\eta$ no $\Delta$-sistema.

Seja agora $\Delta \neq \emptyset$. Suponha que $\prod_{\xi < \kappa} X_\xi$ não seja ccc. Assim, em particular para $a_\alpha$ e $a_\beta$ no $\Delta$-sistema, temos $A_\alpha \cap A_\beta = \emptyset$, o que implica que $\pi(A_\alpha) \cap \pi(A_\beta) = \emptyset$, onde $\pi$ é a projeção em $\prod_{\xi \in \Delta} X_\xi$. Note que se $A$ é um aberto em $\prod_{\xi < \kappa} X_\xi$, então $\pi(A)$ é um aberto em $\prod_{\xi \in \Delta} X_\xi$. Assim $(\pi(A_\xi))_{\xi \in \Delta}$ é uma família não enumerável de abertos dois a dois disjuntos em $\prod_{\xi \in \Delta} X_\xi$, que portanto não é ccc, contradizendo a hipótese de que $\prod_{\xi \in F} X_\xi$ é ccc para qualquer $F \subset \kappa$ finito.
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