Topologia e conjuntos em exercícios

Note que todo intervalo fechado e limitado de $\mathbb R$ é da forma $[a,b]$, com $a,b \in \mathbb R$ e $a \leq b$. Defina $f: [0,1] \to [a,b]$ da forma $f(x) = (1−x)a+bx$. Note que $f$ é contı́nua, pois $f$ é polinomial, e que $f[0,1] = [a,b]$. Prova:\\

$f[0,1] \subset [a,b]:$
Tome $f(z) \in f[0,1]$. Sabemos então que $f(z) = (1-z)a+bz = a - za + bz$. Vamos mostrar que $a \leq f(z) \leq b$, ou seja, $a \leq a - za + bz \leq b \Rightarrow a \leq a + z(b-a) \leq b \Rightarrow 0 \leq z(b-a) \leq b-a$. Como $z \in [0,1]$, então $z(b-a) \geq 0$, pois $(b-a) \geq 0$ e $z \geq 0$. E $z(b-a) \leq b-a$, pois $z \leq 1$. 

$[a,b] \subset f[0,1]:$ Agora tome $c \in [a,b]$. Sabemos que $a \leq c \leq b$, mas $a = f(0)$ e $b = f(1)$, logo, $f(0) \leq c \leq f(1)$. Como a função é contínua, então pelo teorema do valor intermediário existe $d \in [0,1]$ tal que $f(d) = c$, ou seja, $c \in f[0,1]$\\

Temos então que pra todo intervalo fechado e limitado $[a,b] \subset \mathbb R$ existe $f: [0,1] \to [a,b]$ contínua tal que $f[0,1] = [a,b]$, e como imagem de compacto é compacto caso a função seja contínua, então provamos o que queríamos.

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