Topologia e conjuntos em exercícios

Vamos mostrar que para qualquer cobertura por abertos básicos $C_K$ de $K_s$ existe $C' \subset C_K$ finita tal que $K_s \subset \overline{\cup C'}$.\\
Fixada uma cobertura $C_K$ para $K_s$, vamos construir uma cobertura $C_X$ para $X\setminus K_s$ assim: para todo $x\in X\setminus K_s$, tome um aberto básico $A$ contendo $x$ tal que, para algum aberto $B \supset K_s$, $A\cap B = \emptyset$. Note que a escolha de abertos com essas propriedades é possível porque $X$ é regular.\\
Tomemos $C = C_K \cup C_X$, note que $C\in \mathcal{C}_{\mathcal{B}}$, então podemos aplicar $\sigma$ à cobertura $C$.\\
Sabemos que $K_s \subset \overline{\cup \sigma(s^\smallfrown C)}$, mas por construção, todos os elementos de $C_X$ tem fechos disjuntos de $K_s$, portanto podemos tomar $C'\subset \sigma(s^\smallfrown C)$ composta apenas pelos elementos de $\sigma(s^\smallfrown C)$ que pertencem a $C_K$, já que os elementos de $C_X$ não contribuem para recobrir $K_s$. Note que $C'\subset C_K$, $K_s \subset \overline{\cup C'}$ e $C'$ é finito, pois $C'\subset \sigma(s^\smallfrown C)$.\\
Com isso, segue do resultado anterior que $K_s$ é compacto.

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