Topologia e conjuntos em exercícios

Vamos dividir em três casos: 

Caso 1) $a_{\eta} \geq c_{\xi}$: Temos que $]a_{\xi},c_{\xi}[ \cap ]a_{\eta},c_{\eta}[ = \emptyset$, portanto $]a_\xi, b_\xi[ \cap ]a_\eta, b_\eta[ = \emptyset$ e $]b_\xi, c_\xi[ \cap ]b_\eta, c_\eta[ = \emptyset$.

Caso 2) $a_{\eta} \in ]a_{\xi},c_{\xi}[$: Por hipótese temos que $]a_\eta, c_\eta[ \cap \{b_\xi: \xi < \eta\} = \emptyset$ e além disso, temos também que $b_{\eta} \in ]a_\eta, c_\eta[$. Isso nos dá duas possibilidades: $]a_\eta, c_\eta[ \subset ]a_\xi, b_\xi[$ ou $]a_\eta, c_\eta[ \subset ]b_\xi, c_\xi[$. Na primeira, note que $]b_\xi, c_\xi[  \cap ]b_\eta, c_\eta[ = \emptyset$. Já na segunda, temos que $]a_\xi, b_\xi[ \cap ]a_\eta, b_\eta[ = \emptyset$. 

Caso 3) $a_{\eta} \leq a_{\xi}$: Dentro desse caso, temos duas outras possibilidades: $a_{\xi} \in ]a_{\eta},c_{\eta}[$ ou $c_{\eta} < a_{\xi}$. No primeiro caso, temos que $]a_{\eta},b_{\eta}[ \cap ]a_{\xi},b_{\xi}[ = \emptyset$. Já o segundo é análogo ao Caso 1, ou seja, $]a_{\xi},c_{\xi}[$ e $]a_{\eta},c_{\eta}[$ são disjuntos, portanto $]a_\xi, b_\xi[ \cap ]a_\eta, b_\eta[ = \emptyset$ e $]b_\xi, c_\xi[ \cap ]b_\eta, c_\eta[ = \emptyset$.

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