Topologia e conjuntos em exercícios

A primeira parte, de que se $X$ é compacto, então $X$ é h-fechado é imediata, pois para toda cobertura aberta para $X$, existe uma subcobertura $C'$ finita, mas se $X\subset \cup C'$, então $X\subset \overline{\cup C'}$.\\
Agora vamos mostrar a segunda parte.\\
Fixada uma cobertura $C$ para $X$, vamos construir outra cobertura $C_B$ da seguinte forma: para todo $x\in X$ com $x\in A\in C$, tome um aberto $B$ tal que $x\in \overline{B}\subset A$. Como $C_B$ é cobertura para $X$, então existe $C'_B\subset C_B$ finito tal que $X\subset \overline{\cup C'_B}$.\\
Mas por construção, o fecho de cada elemento de $C'_B$ está contido em um elemento de $C$, portanto se para cada elemento $B$ de $C'_B$ tomarmos um $A$ de $C$ com $\overline{B}\subset A$, teremos uma subcobertura finita para $C$.

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