Topologia e conjuntos em exercícios

Considere $x \in X \smallsetminus K $ e $y \in K$. Como $X$ é de Hausdorff, existem abertos disjuntos $U_y$ e $A_y$ contendo $x$ e $y$ respectivamente. Note que o conjunto $\mathcal{A} = \{ A_y | y \in K \}$ forma uma cobertura aberta de $K$. Uma vez que $K$ é compacto existe uma família finita $ \mathcal{A}' = \{A_{y_1}, ..., A_{y_n} \} \subset \mathcal{A}$ de abertos que cobre $K$. Considere agora o conjunto $\mathcal{U} = \{U_{y_1},...,U_{y_n} \}$. Note que $x \in U = \displaystyle \bigcap_{i = 1}^n U_{y_i}$. Note que $U_{y_k}$ é disjunto de $A_{y_k}$ para cada $ k \in \{1,...,n\}$, então $U \cap K = \emptyset$ pois $\mathcal{A}'$ é uma cobertura de $K$. Portanto $X \smallsetminus K$ é aberto, pois para cada $x \in X \smallsetminus K$ existe um aberto contendo $x$ que não intercepta $K$.

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