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Topologia e conjuntos em exercícios

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solucao:fcgfiltroemp

Basta definir $G$ a partir de $F$: $G=\{e \in P: \exists a \in F, a \leq e\}$.

Note que $F \subset G$. $G$ satisfaz a condição $2$ de filtro, pois dados $a, b \in G$ existem $a', b' \in F$ tal que $a'\leq a$ e $b'\leq b$, mas como $a',b' \in F$, existe $c\in F, c \leq a',b'$, e pela transitividade da ordem $c \leq a,b$. Pela maneira como $G$ foi definido, é evidente que ele também satisfaz a condição $3$ de filtro.\\
Por fim, como $P$ é separativa, para todo $r\in G$ existem $p,q\le r$ tais que $p\perp q$, de modo que segue da condição $2$ que $p,q$ não estão os dois em $G$. Portanto $P \neq G$ e $G$ satisfaz a condição $1$ de filtro.

Logo $G$ é um filtro que contém $F$.

solucao/fcgfiltroemp.txt · Última modificação: 2020/11/06 16:05 (edição externa)

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