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Topologia e conjuntos em exercícios

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solucao:exer4-_cauchy

Da hipótese $(x_{n_k})_{n \in \mathbb{N} } $ é converge para $x$, isto é, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que se $n_k \geq n_0$ então $d(x, x_{n_k} ) < \frac{ \varepsilon}{2}$. Como $(x_n)_{ n \in \mathbb{ N} } $ é de Cauchy temos que existe $ n_1 \in \mathbb{N}$ de modo que, se $n, n_k \geq n_1$ temos que $ d(x_n, x_{n_k}) < \frac{ \varepsilon}{2}$. 
Sejam $n, n_k \geq \max \{n_0,n_1 \}  $, da desigualdade triangular $d(x,x_n) \leq   d(x, x_{n_k} ) + d(x_n, x_{n_k}) $, ou seja $d(x,x_n) < \varepsilon $ e portanto $(x_n)_{n \in \mathbb{N} }$ é convergente.

solucao/exer4-_cauchy.txt · Última modificação: 2020/11/06 16:05 (edição externa)

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