Topologia e conjuntos em exercícios

Dado um espaço topológico $(X,\tau)$, dizemos que $Y\subset X$ é compacto se $(Y,\tau')$, sendo $\tau'$ a topologia de subespaço para $Y$, é compacto. \\
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Seja $\mathcal{C_Y}$ uma cobertura aberta para $Y$ (de abertos em $(Y,\tau')$). Definimos $\mathcal{C}:=\{C$ aberto em $X: C\cap Y=C_Y$, para algum $C_Y$ aberto em $Y\}$ \\
Seja $\mathcal{C'}$ subfamília finita de $\mathcal{C}$ tal que $\bigcup_{C\in\mathcal{C'}}C\supset Y$. Definimos $\mathcal{{C'}_Y}=\{C'\cap Y:C\in\mathcal{C'}\}$. Logo, $\bigcup_{C\in\mathcal{C'}}C=Y$ e portanto $\mathcal{{C'}_Y}$ é subcobertura finita de $\mathcal{C_Y}$, logo $Y$ é compacto. \\
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Suponha, agora, $Y$ compacto. \\
Dada uma família $\mathcal{C}$ de abertos de $X$ tal que $Y \subset \bigcup_{C \in \mathcal C} C$, seja $\mathcal{{C}_Y}=\{C\cap Y:C \in \mathcal{C}\}$. Logo $\mathcal{{C}_Y}$ é cobertura aberta para $Y$ e, pela compacidade de $Y$, admite $\mathcal{{C'}_Y}$ subcobertura finita.\\
Seja, agora, $\mathcal{C'}:=\{C'$ aberto em $X: C'\cap Y=C'_Y$, para algum $C'_Y \in \mathcal{{C'}_Y}\}$ \\
Logo, $Y \subset \bigcup_{C' \in \mathcal{C'}} C'$, com $\mathcal{C'}\subset\mathcal{C}$ finito.

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