Topologia e conjuntos em exercícios

Suponha que não. Dado $x_m \in (x_n)_{n \in \omega}$, defina $N = \{n \in \omega: x_n = x_m\}$, Vamos separar em dois casos: 

Caso 1) Existe $m \in \omega$ tal que $N$ é infinito. Nesse caso, tome $(x_n)_{n \in N}$, e note que ela é constante. 

Caso 2) $N$ é finito para todo $m \in \omega$. Seja $x_{n_0} \in (x_n)_{n \in \omega}$. Seja $N_0 = \{m \in \omega: x_m = x_0\}$, que é finito por hipótese. Agora tome $x_{n_1}$ de forma que $x_{n_1} > x_m, \forall m \in N_0$. Analogamente, tome $N_1 = \{m \in \omega: x_m = x_{n_1}\}$, que é finito, e tome $x_{n_2} > x_m, \forall m \in N_1$. Note que podemos, por indução, construir uma subsequência crescente a partir do processo anterior. De fato, suponha que temos a subsequência definida para $p \in \omega$. Temos que $N_p = \{m \in \omega: x_m = x_{n_p}\}$ é finito, e tome $x_{n_{p+1}}$ tal que $x_{n_{p+1}} > x_m, \forall m \in N_p$. Note que, definida dessa forma, a subsequência $(x_{n_p})_{p \in \omega}$ é crescente.

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