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Topologia e conjuntos em exercícios

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solucao:continua

$(\Longrightarrow)$
Seja $x \in X$ tal que $f(x) \in A \subset Y$ com $A$ aberto. Dado que $f$ é contínua, $f^{-1}[A]$ é aberto em $X$. Por definição temos que $x \in f^{-1}[A]$ e $f[f^{-1}[A] ] \subset A$, então $f$ é contínua $\forall x \in X$.

$(\Longleftarrow)$
Seja $A \subset Y$ aberto. Seja $x \in f^{-1}[A]$. Como $f$ é contínua em todo $x \in X $, então existe $B_x$ aberto, tal que $x \in B_x$ e $f[B_x] \subset A$. Note que $\bigcup_{ x \in f^{-1}[A]}B_x = f^{-1}[A]$, pois seja $ x \in \bigcup_{ x \in f^{-1}[A]}B_x$, $x \in B_x$ então $f(x) \in A$ uma vez que $f[B_x] \subset A$, ou seja $x \in F^{-1}[A]$,
supondo que $x \in f^{-1}[A]$ então $x \in B_x$. Logo, $f^{-1}[A]$ é aberto pois é união de abertos.

solucao/continua.txt · Última modificação: 2020/11/06 16:05 (edição externa)

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