Topologia e conjuntos em exercícios

Suponha $X$ Lidelöf e enumeravelmente compacto.\\
Considere $\mathcal{U}$, uma cobertura por abertos de $X$. Como $X$ é Lindelöf, existe $\mathcal{U'} \subset \mathcal{U}$, uma subcobertura enumerável para $X$. Como, $X$ também é enumeravelmente compacto, existe $\mathcal{U''} \subset \mathcal{U'}$, uma subcobertura finita para $X$.\\
Então, para toda cobertura por abertos $\mathcal{U}$, existe $\mathcal{U''}$, subcobertura finita para $X$, portanto $X$ é compacto.\\
Reciprocamente, seja $\mathcal{U}$ uma cobertura por abertos para $X$. Como $X$ é compacto existe $\mathcal{U'}$, subcobertura finita para $X$. Particularmente se $|\mathcal{U}| = \omega$, temos $X$ enumeravelmente compacto. Como todo conjunto finito é enumerável, temos também que $\mathcal{U}$, admite subcobertura enumerável, portanto $X$ é Lidelöf.

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