Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $\preceq$ uma boa ordem para os pontos de $\mathbb R^3$ de maneira que $|\{x \in \mathbb R^3: x \preceq y\}| < \mathfrak c$ para todo $y \in \mathbb R^3$. Vamos mostrar que tomando todos os pontos de $\mathbb R^3$ seguindo a boa ordem estabelecida provaremos que existe a família $\mathcal {F}$ de círculos disjuntos que cobrem $\mathbb R^3$.

Seja $x_0$ o primeiro elemento segundo a boa ordem fixada. Seja $C$ um círculo qualquer que contenha $x_0$. Defina $\mathcal F_{x_0} = \{C\}$. 

Fixe $y \in \mathbb R^3$ e suponha por indução que todo $x \prec y$ está coberto por algum elemento de $\bigcup_{z \prec y}\mathcal F_z$. Suponha também que $\bigcup_{z \prec y} \mathcal F_z$ é formado por círculos dois a dois disjuntos e que $|\bigcup_{z \prec y} \mathcal F_z| < \mathfrak c$. Se $y$ pertence a algum círculo de $\bigcup_{z \prec y} \mathcal F_z$, definimos $\mathcal F_y = \emptyset$. Se não, pelos resultados anteriores, sabemos que existe um plano $\pi$ que contém $y$ e não contém nenhum círculo de $\bigcup_{z \prec y} \mathcal F_z$. Também sabemos que existe um círculo $C$ em $\pi$ que não possui nenhum ponto em comum com os elementos de $\bigcup_{z \prec y} \mathcal F_z$. Portanto $C$ é disjunto de todos os elementos de $\bigcup_{z \prec y} \mathcal F_z$ e contém $y$. Assim, definimos $\mathcal F_y = \{C\}$. De qualquer maneira, podemos continuar a indução.  

Assim, basta definir $\mathcal F = \bigcup_{x \in \mathbb R^3} \mathcal F_x$.
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