Topologia e conjuntos em exercícios

Suponha que \(X\) não é Baire. Então existe \(\mathcal F = \{D_0, D_1,...\}\) uma família enumerável de abertos densos tal que existe \(U \in \tau\) não vazio satisfazendo \((\bigcap \mathcal F) \cap U = \emptyset\). Ora, então II não vence o jogo pois basta que I, na rodada \(0\), escolha \(U\). Nas rodadas seguintes, então, I escolhe \(U_n = V_{n-1} \cap (\bigcap\limits_{i =0}^{n} D_i)\), note que esta é uma jogada válida, pois intersecção finita de abertos densos é sempre um aberto denso\(^*\) e, portanto, \(\emptyset \neq U_n \subset V_{n-1}\). Por hipótese, \(\bigcap\limits_{i \in \omega}U_i = \emptyset\), pois para todo \(n \in \omega\), \(U_n \subset D_n \implies \bigcap\limits_{i \in \omega}U_i \subset \bigcap\limits_{i \in \omega}D_i = \emptyset\).

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\(^{(*)}\)
Sejam \(D_1\) e \(D_2\) dois abertos densos. Então, dado \(A \in \tau\), \(A \cap (D_1 \cap D_2) =  (A \cap D_1) \cap D_2 = U \cap D_2 \neq \emptyset\) onde \(U\) é um aberto, pois intersecção de aberto é aberto. Para uma intersecção finita, basta ir intersectando os abertos densos dois a dois, e obtendo novos abertos densos...

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