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Topologia e conjuntos em exercícios

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solucao:basesexerc2

$(X,\tau)$ é um espaço topológico e $\mathcal{B} \subset \tau$.

$(\Longrightarrow)$

Seja $A \in \tau$, então $\exists B_x \in \mathcal{B} $  para cada $x \in A$ tal que $x \in B_x \subset A$. Logo $A = \bigcup_{x \in A}B_x$. Note que $\mathcal{B'} = \{ B_x : x \in B_x \subset A \land B_x \in \mathcal{B} \} \subset \mathcal{B}$

$(\Longleftarrow)$ Temos que mostrar que para qualquer $x \in A \in \tau$, $\exists B \in B
$ tal que $x \in B \subset A$.

Sejam $x \in X$ e $A \in \tau$ tais que $x \in A$. Por hipótese, existe $\mathcal B' \subset \mathcal B$ tal que $A = \bigcup_{B \in \mathcal B'} B$. Então, existe $B \in \mathcal B'$ tal que $x \in B$. Note que $B \subset A$.

solucao/basesexerc2.txt · Última modificação: 2020/11/06 16:05 (edição externa)

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