Topologia e conjuntos em exercícios

Seja $V_n^k$ como no item anterior. Note que, para qualquer $n \in \omega$, $V_n^0 \cup V_n^1 = \{(x_i)_{i\in\omega} \in 2^\omega : x_n=0$ ou $x_n=1\} = 2^\omega$, ou seja, $\{V_n^0, V_n^1\}$ é cobertura de $2^\omega$. Note ainda que se $k,k' \in \{0,1\}$, $m,n \in \omega$ e $m \neq n$, então $V_m^k \cup V_n^{k'} = \{(x_i)_{i\in\omega} \in 2^\omega : x_m=k$ ou $x_n=k'\}$ não é cobertura. De fato, $(x_i)_{i\in\omega}$ tal que $x_m \neq k$ e $x_n \neq k'$ não está em $V_m^k \cup V_n^{k'}$. Este argumento pode ser estendido para qualquer união finita satisfazendo estas condições.

Suponhamos agora, para todo $n \in \omega$ que o jogador I escolha em sua $n$-ésima jogada a cobertura $C_n = \{V_n^0, V_n^1\}$. Ao fim do jogo, o conjunto das jogadas do jogador II será da forma $\{V_n^{k_n}\}_{n\in\omega}$.

Se o jogador II vence, $\{V_n^{k_n}\}_{n\in\omega}$ é uma cobertura de $2^\omega$. Daí, como $2^\omega$ é compacto, existe subcobertura finita. Mas um subconjunto finito de $\{V_n^{k_n}\}_{n\in\omega}$ não forma uma cobertura, como observado no início.

Assim, a estratégia apresentada para o jogador I é vencedora.

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