Topologia e conjuntos em exercícios

===== Espaços produtivamente ccc =====

<WRAP info>
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico. Dizemos que X é {{entry>produtivamente ccc}} se $X\times Y$ for ccc para todo espaço topológico $Y$ ccc.</WRAP>

<WRAP info>
Sejam $(X,\tau)$ um espaço topológico e $n\in\omega$ com $n\geq 2$. Dizemos que $X$ satisfaz a propriedade $K_n$ (de {{entry>Knaster}}) se para qualquer família não-enumerável $\mathcal{U}$ de abertos de $X$ existe uma subfamília não-enumerável $\mathcal{U}'\subset\mathcal{U}$ tal que para todo $F\in[\mathcal{U}']^n$ tenha-se $\bigcap F\ne\emptyset$. Se para todo $n\geq 2$ valer $K_n$, diremos que $X$ satisfaz $K_\sigma$.
</WRAP>

Neste [[https://www.impan.pl/shop/publication/transaction/download/product/88615|artigo]], os autores denotam por $\mathcal{C}^2$ e $\mathcal{K}_n$, respectivamente, as afirmações:

  * $\mathcal{C}^2$: todo espaço ccc é produtivamente ccc;
  * $\mathcal{K}_n$: todo espaço ccc satisfaz $K_n$.
Analogamente, denotaremos por
  * $\mathcal{K}_\sigma$: todo espaço ccc satisfaz $K_\sigma$.

Com algumas adaptações do roteiro apresentado em [[lista:produtoccc|Produto de espaços ccc]], mostra-se que
\[\text{MA}+\neg\text{CH}\Rightarrow \text{MA}_{\aleph_1}\Rightarrow \mathcal{K}_\sigma\Rightarrow \mathcal{K}_n\Rightarrow \mathcal{K}_2\Rightarrow \mathcal{C}^2.\]

As implicações acima sugerem as perguntas (feitas no artigo supracitado):
<WRAP todo>

  * $\mathcal{K}_2$ implica $\mathcal{K}_3$? $\mathcal{K}_2$ implica $\text{MA}_{\aleph_1}$?
  * $\mathcal{C}^2$ implica $\mathcal{K}_2$? $\mathcal{C}^2$ implica $\text{MA}_{\aleph_1}$?
</WRAP>

Sabe-se que assumindo CH, existe um espaço topológico $X$ produtivamente ccc que não satisfaz $K_2$ (ver [[http://www.jstor.org/stable/2273124|aqui]]).
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