Topologia e conjuntos em exercícios

===== Algumas traduções com a dualidade de Stone =====


<WRAP tip>
É melhor você já ter feito a lista da [[lista:DualidadeStone| dualidade de Stone]] antes de fazer essa.
</WRAP>

<WRAP info>
Dada uma álgebra de Boole $A$, dizemos que $a \in A$ é um {{entry>átomo}} se $a \neq 0$ e não existe $b \in A$ tal que $0 < b < a$.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que $a \in A$ é um átomo se, e somente se, $a^*$ corresponde a um aberto unitário em $s(A)$. 

**~~#~~** Mostre que $s(A)$ não tem pontos isolados se, e somente se, $A$ não tem átomos.

**~~#~~** Seja $\varphi: A \rightarrow B$ um homomorfismo sobrejetor de álgebras de Boole. 

**~~#.#~~** Mostre que $f:s(B) \rightarrow s(A)$ dada por $f(u) = \varphi^{-1}[u]$ é uma função injetora e contínua. 

**~~#.#~~** Mostre que para cada imagem homomorfa $B$ de $A$, existe um subespaço fechado $X$ de $s(A)$ tal que $Clop(X)$ e $Clop(s(B))$ são isomorfos.

**~~#~~** Seja $X$ um espaço booleano. Seja $Y \subset X$ um subespaço fechado de $X$. Mostre que existe um homomorfismo sobrejetor $\varphi: Clop(Y) \rightarrow Clop(X)$. 

**~~#~~** Note a correspondência entre subespaços fechados num espaço booleano e imagens homomorfas em álgebras de Boole.

<WRAP info>
Dizemos que uma álgebra de Boole $A$ é {{entry>atômica}} se, dado qualquer $a \in A$, existe $b$ átomo tal que $b \leq a$. 
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que uma álgebra de Boole $A$ é atômica se, e somente se, o conjunto dos pontos isolados em $s(A)$ é denso em $s(A)$.

<WRAP info>
Dizemos que uma álgebra de Boole é {{entry>superatômica}} se toda imagem homomorfa dela é atômica.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que $A$ é superatômica se, e somente se, $s(A)$ é disperso.
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