Topologia e conjuntos em exercícios

====Generalização impossível do Teorema de Ramsey====

<WRAP info>
Vamos mostrar que existe uma coloração $\pi: [\omega]^\omega \to \{0, 1\}$ tal que não vale o análogo do Teorema de Ramsey. Ou seja: existe uma maneira de se colorir todos os subconjuntos infinitos de $\omega$ com duas cores, de forma que não exista $X \subset \omega$ infinito tal que todos os elementos de $[X]^\omega$ tenham a mesma cor.
</WRAP>

Considere $(A_\beta)_{\beta < \mathfrak c}$ todos os subconjuntos infinitos de $\omega$.

**~~#~~** Mostre que existem $X = \{X_\alpha: \alpha < \mathfrak c\}$ e $Y = \{Y_\alpha: \alpha < \mathfrak c\}$ famílias de conjuntos distintos tais que para todo $\beta < \mathfrak c$, $X_\beta$ e $Y_\beta \subset A_\beta$ tais que $X_\beta \notin \{Y_\alpha: \alpha \leq \beta\}$ e $Y_\beta \notin \{X_\alpha: \alpha \leq \beta\}$.  <wrap help>[[Solucao:genimram1|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que existe uma coloração $\pi: [\omega]^\omega \to \{0, 1\}$ de forma que não exista $X \subset \omega$ infinito tal que todos os elementos de $[X]^\omega$ tenham a mesma cor. <wrap help>[[Solucao:genimram2|Solução]]</wrap>

<WRAP tip>
Talvez seja interessante fazer a lista de [[lista:Berstein|Conjuntos de Bernstein]] depois dessa. 
</WRAP>
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