Topologia e conjuntos em exercícios

===== Teorema de Baire =====

<WRAP tip>
Provavelmente você vai querer saber os resultados da [[lista:densos|lista de densos]]. 
</WRAP>

**~~#~~** Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Sejam $A$ e $B$ abertos densos em $X$. Mostre que $A \cap B$ é um aberto denso em $X$.

<WRAP info>
Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Dizemos que $X$ é um {{entry>espaço/Baire; espaço de Baire}} se, dada uma sequência $(A_n)_{n \in \omega}$ de abertos densos, temos que $\bigcap_{n \in \omega} A_n$ é denso em $X$. 
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que $\mathbb Q$ não é um espaço de Baire.

**~~#~~** Mostre que todo espaço $T_1$ sem pontos isolados e enumerável não é de Baire.<wrap help>[[Solucao:T1Baire|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $(X, \tau)$ compacto de Hausdorff. Sejam $A$ um aberto e $D$ um aberto denso. Mostre que existe $B$ aberto não vazio tal que $\overline B \subset A \cap D$.

**~~#~~** {{entry>Teorema/Baire para espaços compactos; Teorema de Baire para espaços compactos}} Seja $(X, \tau)$ espaço compacto de Hausdorff. Mostre que $X$ é de Baire.<wrap tip>[[dica:BaireCompacto|Dica]]</wrap> <wrap help>[[Solucao:BaireCompacto|Solução]]</wrap> 

**~~#~~** Seja $X$ espaço localmente compacto e de Hausdorff. Mostre que $X$ é de Baire.

**~~#~~** Seja $(X, d)$ espaço métrico. Sejam $A$ um aberto e $D$ um aberto denso. Mostre que existem $x \in X$ e $r \in \mathbb R_{>0}$ tais que $\overline{B_r(x)} \subset A \cap D$.

**~~#~~** {{entry>Teorema/Baire para métricos completos; Teorema de Baire para espaços métricos completos}} Seja $(X, d)$ espaço métrico completo. Mostre que $X$ é de Baire.<wrap tip>[[dica:BaireCompleto|Dica]]</wrap>
Topologia e conjuntos em exercícios

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