Topologia e conjuntos em exercícios

Ida:\\
$X$ é $T_3$, então dados $x \in X$ e $F \subset X$ fechado tal que $x \notin F$ temos dois abertos $A$ e $B$ disjuntos onde $x \in A$ e $F \subset B$. Note que $X \smallsetminus F$ é aberto e que $x \in X \smallsetminus F$. Note também que $X \smallsetminus B$ é fechado para todo $B$, que $x \in X \smallsetminus B$ e que $A \subset X \smallsetminus B \subset X \smallsetminus F$, logo, $x$ admite sistema fundamental de vizinhanças fechadas.\\
Volta:\\
Se para todo $x \in X$ e para todo $A$ aberto tal que $x \in A$ temos $V \in \mathcal V$ fechado onde $x \in V$ e
$x \in U \subset V$ com $U$ aberto, então note que $X \smallsetminus A$ é fechado pra todo $A$ e que $x \notin X \smallsetminus A$. Note também que $X \smallsetminus V$ é aberto para todo $V \in \mathcal V$, logo, como $V \subset A$, então $X \smallsetminus A \subset X \smallsetminus V$. Ou seja, conseguimos dois abertos disjuntos $U$ e $X \smallsetminus V$ tal que $x \in U$ e $X \smallsetminus A \subset X \smallsetminus V$, logo, $X$ é $T_3$.

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