ir para o conteúdo
Topologia e conjuntos em exercícios
Mantido pelo grupo "Topologia do Interior"
Ferramentas do usuário
Entrar
Ferramentas do site
Pesquisar
Ferramentas
Mostrar página
Revisões anteriores
Links reversos
Alterações recentes
Gerenciador de mídias
Índice
Entrar
>
Alterações recentes
Gerenciador de mídias
Índice
Visitou:
•
submodeloselementares
•
maisplanosmenoscirculos
lista:suslin
===== Hipótese de Suslin ===== **~~#~~** Seja $(X, \leq)$ totalmente ordenado, enumerável, com ordem densa e sem maior nem menor elementos. Mostre que $X$ é isomorfo a $\mathbb Q$. <wrap help>[[solucao:XisoQ|Solução]]</wrap> **~~#~~** Seja $(X, \leq)$ totalmente ordenado, completo, com ordem densa, sem maior nem menor elementos e separável. **~~#.#~~** Mostre que $X$ admite um denso, no sentido de ordem, enumerável, com ordem densa e sem maior nem menor elementos. <wrap help>[[solucao:X1isoR|Solução]]</wrap> **~~#.#~~** Seja $D \subset X$ denso. Mostre que, para todo $x \in X$, temos que $x = \sup\{d \in D: d < x\}$.<wrap help>[[solucao:xehsup|Solução]]</wrap> **~~#.#~~** Mostre que $X$ é isomorfo a $\mathbb R$.<wrap help>[[solucao:X2isoR|Solução]]</wrap> <WRAP info> Dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço {{entry>c.c.c.}} se ele não admite uma família de abertos dois a dois disjuntos não enumerável. </WRAP> **~~#~~** Mostre que todo espaço separável é c.c.c.<wrap help>[[solucao:SeparavelCCC|Solução]]</wrap> <WRAP info> Chamamos de {{entry>Hipótese de Suslin}} a afirmação de que não existe um conjunto $(X, \leq)$ totalmente ordenado, completo, com ordem densa, sem maior nem menor elementos c.c.c. e não separável. Um espaço com tais propriedades é chamado de {{entry>reta de Suslin}}. </WRAP> **~~#~~** Seja $(X, \leq)$ uma reta de Suslin. **~~#.#~~** Construa, por indução, sequências $(a_\xi)_{\xi \in \omega_1}$, $(b_\xi)_{\xi \in \omega_1}$ e $(c_\xi)_{\xi \omega_1}$ de pontos de $X$ tais que, para todo $\xi \in \omega_1$, $a_\xi < b_\xi < c_\xi$ e $]a_\xi, c_\xi[ \cap \{b_\eta: \eta < \xi\} = \emptyset$. <wrap tip>[[dica:intervalosSuslin|Dica]]</wrap><wrap help>[[solucao:3Seq|Solução]]</wrap> **~~#.#~~** Mostre que, se $\xi < \eta$, então $]a_\xi, b_\xi[ \cap ]a_\eta, b_\eta[ = \emptyset$ ou $]b_\xi, c_\xi[ \cap ]b_\eta, c_\eta[ = \emptyset$. **~~#.#~~** Mostre que $X \times X$ não é c.c.c. <wrap help>[[solucao:XxXnaoccc|Solução]]</wrap> <WRAP info> Observe que na seção sobre [[lista:produtoccc|Produto de espaços c.c.c.]] está dito que, supondo $MA$, então produto de espaços c.c.c é c.c.c. Considerando o que foi provado no item acima, temos então que a {{entry>Hipótese de Suslin}} é uma afirmação independente de ZFC. </WRAP>
lista/suslin.txt
· Última modificação: 2021/07/02 11:32 por
aurichi
Ferramentas da página
Mostrar página
Revisões anteriores
Links reversos
Voltar ao topo