Topologia e conjuntos em exercícios

===== Hipótese de Suslin =====

**~~#~~** Seja $(X, \leq)$ totalmente ordenado, enumerável, com ordem densa e sem maior nem menor elementos. Mostre que $X$ é isomorfo a $\mathbb Q$. <wrap help>[[solucao:XisoQ|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $(X, \leq)$ totalmente ordenado, completo, com ordem densa, sem maior nem menor elementos e separável. 

**~~#.#~~** Mostre que $X$ admite um denso, no sentido de ordem, enumerável, com ordem densa e sem maior nem menor elementos. <wrap help>[[solucao:X1isoR|Solução]]</wrap>

**~~#.#~~** Seja $D \subset X$ denso. Mostre que, para todo $x \in X$, temos que $x = \sup\{d \in D: d < x\}$.<wrap help>[[solucao:xehsup|Solução]]</wrap>

**~~#.#~~** Mostre que $X$ é isomorfo a $\mathbb R$.<wrap help>[[solucao:X2isoR|Solução]]</wrap>

<WRAP info>
Dizemos que $(X, \tau)$ é um espaço {{entry>c.c.c.}} se ele não admite uma família de abertos dois a dois disjuntos não enumerável.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que todo espaço separável é c.c.c.<wrap help>[[solucao:SeparavelCCC|Solução]]</wrap>

<WRAP info>
Chamamos de {{entry>Hipótese de Suslin}} a afirmação de que não existe um conjunto $(X, \leq)$ totalmente ordenado, completo, com ordem densa, sem maior nem menor elementos c.c.c. e não separável. Um espaço com tais propriedades é chamado de {{entry>reta de Suslin}}.
</WRAP>

**~~#~~** Seja $(X, \leq)$ uma reta de Suslin. 

**~~#.#~~** Construa, por indução, sequências $(a_\xi)_{\xi \in \omega_1}$, $(b_\xi)_{\xi \in \omega_1}$ e $(c_\xi)_{\xi \omega_1}$ de pontos de $X$ tais que, para todo $\xi \in \omega_1$, $a_\xi < b_\xi < c_\xi$ e $]a_\xi, c_\xi[ \cap \{b_\eta: \eta < \xi\} = \emptyset$. <wrap tip>[[dica:intervalosSuslin|Dica]]</wrap><wrap help>[[solucao:3Seq|Solução]]</wrap>


**~~#.#~~** Mostre que, se $\xi < \eta$, então $]a_\xi, b_\xi[ \cap ]a_\eta, b_\eta[ = \emptyset$ ou $]b_\xi, c_\xi[ \cap ]b_\eta, c_\eta[ = \emptyset$. 

**~~#.#~~** Mostre que $X \times X$ não é c.c.c. <wrap help>[[solucao:XxXnaoccc|Solução]]</wrap>

<WRAP info>
Observe que na seção sobre [[lista:produtoccc|Produto de espaços c.c.c.]] está dito que, supondo $MA$, então produto de espaços c.c.c é c.c.c. Considerando o que foi provado no item acima, temos então que a {{entry>Hipótese de Suslin}} é uma afirmação independente de ZFC.
</WRAP>
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