Topologia e conjuntos em exercícios

<WRAP tip>
Provavelmente você vai querer saber os resultados da lista do [[lista:teoremaDaImersao|Teorema da imersão]]
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<WRAP info>
Seja $(X, \tau)$ um espaço topológico de Hausdorff. Dizemos que $cX$ é uma {{entry>compactificação}} de $X$ se $cX$ é de Hausdorff, $\overline X = cX$ e $cX$ é compacto.
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<WRAP info>
Seja $(X,\tau)$ um espaço completamente regular. Chamamos de $\beta X = \overline{\{(f(x))_{f \in \mathcal{F}}:x \in X\}} \subset [0,1]^{\mathcal{F}}$(Lembre que $[0,1]^{\mathcal{F}} = \prod_{f \in \mathcal{F}}[0,1]$), onde $\mathcal{F}$ é o conjunto de todas as funções contínuas $f : X \rightarrow [0,1]$. $\beta X$ é chamada de Compatificação de Stone-Cech.
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**~~#~~** (Teorema)Seja $(X,\tau)$ espaço completamente regular

**~~#.#~~** Mostre que $\beta X$ é compacto de Hausdorff
<wrap tip>[[dica:StoneCech1|Dica]]</wrap>

**~~#.#~~** Mostre que $\beta X = X$
<wrap tip>[[dica:StoneCech2|Dica]]</wrap>

**~~#.#~~** Mostre que para toda $f : X \rightarrow [0,1]$ contínua, existe $\tilde{f} : \beta X \rightarrow [0,1]$ extensão contínua de $f$
<wrap tip>[[dica:StoneCech3|Dica]]</wrap> 

**~~#~~** Seja $(X,\tau)$ espaço completamente regular e $Y$ um compacto de Hausdorff tal que $\overline{X} = Y$ e $\forall f : X \rightarrow [0,1]$ contínua, $\exists \tilde{f} : Y \rightarrow [0,1]$ extensão contínua de $f$

**~~#.#~~** Suponha $K \subset [0,1]^I$ pelo Teorema da Imersão, para algum conjunto $I$

**~~#.#~~** Seja $f : X \rightarrow K$ contínua, considere para cada $i \in I$, $f_i : X \rightarrow [0,1]$, onde $f_i = \pi_i \circ f$ e considere, por hipótese, $\exists \tilde{f_i} : Y \rightarrow [0,1]$ extensão contínua de $f_i$

**~~#.#~~** Mostre que $f : Y \rightarrow K$, $\forall A \subset Y$, temos $f[\overline{A}] \subset \overline{f[A]}$

**~~#.#~~** Mostre que dada $f : X \rightarrow K$ contínua, onde $K$ é compacto de Hausdorff, $\exists \tilde{f} : Y \rightarrow K$ extensão contínua de $f$

**~~#~~** Mostre que $\beta X$ é o único espaço que satisfaz os itens $1.1$,$1.2$ e $1.3$ (a menos de homeomorfismo)
<wrap tip>[[dica:PropSC|Dica]]</wrap>
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