Topologia e conjuntos em exercícios

===== Teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein =====

<WRAP tip>
Durante esta lista, considere $A$ e $B$ conjuntos disjuntos e $f: A \rightarrow B$ e $g: B \rightarrow A$ funções injetoras.
</WRAP>

**~~#~~** Dado $x \in A \cup B$ defina por indução:
  *$s_0 = x$
  *$s_{n + 1} = f(s_n)$, se $s_n \in A$
  *$s_{n + 1} = g(s_n)$ se $s_n \in B$
  *$s_{-(n + 1)} = f^{-1}(s_{-n})$ se $s_{-n} \in B$ e $f^{-1}(s_{-n})$ está definido
  *$s_{-(n + 1)} = g^{-1}(s_{-n})$ se $s_{-n} \in A$ e $g^{-1}(s_{-n})$ está definido

Note $s_k$ pode não ser definido. Faça um desenho desta construção e tente ver os casos possíveis.

<WRAP info>
Seja $X$ um conjunto. Dizemos que $\mathcal P \subset \wp(X)$ forma uma {{entry>partição}} sobre $X$ se para todos $A, B \in \mathcal P$ distintos temos que $A \cap B = \emptyset$ e $\bigcup_{A \in \mathcal P}A = X$. 
</WRAP>

**~~#~~** Seja $X$ um conjunto e seja $\mathcal P$ uma partição sobre $X$. Suponha que, para cada $P \in \mathcal P$ existam $Y_P$ conjunto e $f_P: P \to Y_P$ função bijetora. Mostre que, se $Y_P \cap Y_Q = \emptyset$ para $P \neq Q$, então existe uma função bijetora entre $X$ e $Y = \bigcup_{P \in \mathcal P} Y_P$.

**~~#~~** Para cada $x \in A \cup B$, defina $S_x = \{s_z: z \in \mathbb Z\}$ como acima. 

**~~#.#~~** Mostre que, se existe $a \in S_x \cap S_y$, então $S_x = S_y$ (note que não necessariamente $x = y$).

**~~#.#~~** Mostre que $(S_x)_{x \in A \cup B}$ forma uma partição sobre $A \cup B$.

**~~#~~** Note que se definirmos para cada $S_x$ uma bijeção entre $S_x \cap A$ e $S_x \cap B$, temos que existe uma bijeção entre $A$ e $B$.

**~~#~~** Seja $x \in A \cup B$ e considere $S_x$. Mostre que $f$ ou $g$ induzem uma bijeção como acima (dependendo de cada caso). 

**~~#~~** Mostre o {{entry>teorema/Cantor-Schoroeder-Bernstein; teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein}}: Sejam $A$ e $B$ conjuntos tais que existem $f: A \rightarrow B$ e $g: B \rightarrow A$ injetoras. Então existe $h: A \rightarrow B$ bijetora.

**~~#~~** Mostre o teorema anterior, mesmo sem supor $A$ e $B$ disjuntos. <wrap tip>[[dica:naodisjuntos|Dica]]</wrap> <wrap help>[[Solucao:BernSchroeder|Solução]]</wrap> 

**~~#~~** Enuncie e prove o análogo ao teorema mas usando funções sobrejetoras em vez de injetoras.
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