Topologia e conjuntos em exercícios

===== $\psi$-espaços =====

<WRAP tip>
Provavelmente você vai querer fazer a lista de [[lista:quaseDisjuntas|famílias quase disjuntas]] antes desta.
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<WRAP info>
Dada uma família quase disjunta $\mathcal F$ de subconjuntos de $\omega$, definimos o espaço $X = \mathcal F \cup \omega$ com a topologia tal que $\{n\}$ é aberto para todo $n \in \omega$ e as vizinhanças básicas de cada $F \in \mathcal F$ são da forma $\{F\} \cup (F \smallsetminus A)$, onde $A$ é finito. Denotamos tal espaço por {{entry>$\psi(\mathcal F)$}}. 
</WRAP>

<WRAP tip>
Nos próximos exercícios, considere $\mathcal F$ uma família quase disjunta de subconjuntos de $\omega$.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que $\psi(\mathcal F)$ é Hausdorff. <wrap help>[[Solucao:PsiHausdorff|Solução]]</wrap> 

**~~#~~** Mostre que todo $x \in \psi(\mathcal F)$ tem base local enumerável. <wrap help>[[Solucao:PsiBaselocalenumerável|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que $\psi(\mathcal F)$ é separável. <wrap help>[[Solucao:PsiSeparável|Solução]]</wrap> 

**~~#~~** Mostre que $\psi(\mathcal F)$ é localmente compacto. <wrap help>[[Solucao:PsiLocalmentecompacto|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que $\mathcal F$ é fechado e discreto em $\psi(\mathcal F)$. <wrap help>[[Solucao:Ffechadodiscretoempsi|Solução]]</wrap> 

**~~#~~** Suponha $\mathcal F$ família maximal quase disjunta. Mostre que toda sequência $(x_n)_{n \in \omega}$ de pontos em $\omega$ tem subsequência convergente.<wrap help>[[Solucao:Todaseqtemsubseqconvergente|Solução]]</wrap> 


<WRAP info>
Dizemos que $(X, \tau)$ é {{entry>pseudocompacto}} se, para toda $f: X \rightarrow \mathbb R$ contínua, temos que $f[X]$ é limitado.
</WRAP>

**~~#~~** Suponha $\mathcal F$ família maximal quase disjunta infinita. Suponha $f: \psi(\mathcal F) \rightarrow \mathbb R$ contínua tal que $f[\psi(\mathcal F)]$ é ilimitado.

**~~#.#~~**  Mostre que existe $(x_n)_{n \in \omega}$ sequência de pontos de $\omega$ tal que $f[\{x_{n_k}: k \in \omega\}]$ é ilimitado para qualquer subsequência $(x_{n_k})_{k \in \omega}$.<wrap help>[[Solucao:filimitadasobreomega|Solução]]</wrap> 

**~~#.#~~** Obtenha uma contradição a partir do item anterior. Conclua que $\psi(\mathcal F)$ é pseudocompacto.<wrap help>[[Solucao:psipseudocompacto|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que se $\mathcal F$ é uma família infinita maximal quase disjunta, então $\psi(\mathcal F)$ não é normal.<wrap tip>[[dica:psiEspacaoNaoNormal|Dica]]</wrap><wrap help>[[Solucao:PsinãoNormal|Solução]]</wrap> 

**~~#~~** Mostre que o exercício anterior não é válido se a família não for infinita.
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