Topologia e conjuntos em exercícios

===== Existência de infinitos primos =====

<WRAP info>
Considere $\tau = \{A \subset \mathbb{Z}:$ para todo a $\in$ A, existe b $\in \mathbb{N}_{>0}$ tal que $\{a + bz: z \in \mathbb{Z}\} \subset A \}$.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que $\tau$ é um topologia sobre $\mathbb{Z}$. <wrap help>[[Solucao:tauehtop|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que não existe um aberto não vazio que seja finito. <wrap help>[[Solucao:abertinfinito|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que, dados $a \in \mathbb{Z}$ e $b \in \mathbb{N}_{>0}$, o conjunto $S(a,b) = \{a + bz: z \in \mathbb{Z}\}$ é aberto e fechado. <wrap help>[[Solucao:abertoefechado|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que $\mathbb{Z} \setminus \{-1, 1\} = \bigcup_{p\text{ é primo}} S(0,p)$.<wrap help>[[Solucao:abertodosprimos|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que existem infinitos primos. <wrap help>[[Solucao:infinitosprimos|Solução]]</wrap>

Topologia e conjuntos em exercícios

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