Topologia e conjuntos em exercícios

===== Os jogos ponto-aberto e finito-aberto =====

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Provavelmente você vai querer olhar a lista do [[lista:Rothberger|jogo de Rothberger]].
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<WRAP info>
Dado $(X, \tau)$ espaço topológico, chamamos de {{entry>jogo/ponto-aberto; jogo ponto-aberto}} o seguinte jogo entre os jogadores I e II: A cada rodada $n \in \omega$, o jogador I escolhe $x_n \in X$. Então, o jogador II escolhe $A_n$ aberto tal que $x_n \in A_n$. Dizemos que o jogador I vence o jogo se $\bigcup_{n \in \omega} A_n = X$.
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<WRAP info>
Dado $(X, \tau)$ espaço topológico, chamamos de {{entry>jogo/finito-aberto; jogo finito-aberto}} o seguinte jogo entre os jogadores I e II: A cada rodada $n \in \omega$, o jogador I escolhe $F_n \subset X$ finito. Então, o jogador II escolhe $A_n$ aberto tal que $F_n \subset A_n$. Dizemos que o jogador I vence o jogo se $\bigcup_{n \in \omega} A_n = X$.
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**~~#~~** Mostre que se o jogador I tem uma estratégia vencedora no finito-aberto, então o jogador I tem uma estratégia vencedora no jogo ponto-aberto.

**~~#~~** Mostre que se o jogador II tem uma estratégia vencedora no finito-aberto, então o jogador II tem uma estratégia vencedora no jogo ponto-aberto.

**~~#~~** Mostre que se o jogador I tem uma estratégia vencedora no ponto-aberto, então o jogador I tem uma estratégia vencedora no jogo finito-aberto.

**~~#~~** Mostre que se o jogador II tem uma estratégia vencedora no ponto-aberto, então o jogador II tem uma estratégia vencedora no jogo finito-aberto.

<WRAP info>
Quando acontece situação como a descrita acima, em que as estratégias se traduzem entre os mesmos jogadores entre dois jogos  (I tem estratégia vencedora em um se, e somente se, I tem no outro etc.) dizemos que os jogos são {{entry>jogos/equivalentes;equivalentes}}.
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**~~#~~** Mostre que se o jogador I tem uma estratégia vencedora no jogo ponto-aberto, então o jogador II tem uma estratégia vencedora no jogo $\mathsf G_1(\mathsf O, \mathsf O)$.  <wrap help>[[Solucao:pontoabertoex5|Solução]]</wrap> 

**~~#~~** Mostre que se o jogador I tem uma estratégia vencedora no jogo $\mathsf G_1(\mathsf O, \mathsf O)$, então o jogador II tem uma estratégia vencedora no jogo ponto-aberto.  <wrap help>[[Solucao:pontoabertoex6|Solução]]</wrap> 

**~~#~~** Seja $\sigma$ uma estratégia para o jogador II no jogo ponto-aberto. Mostre que $\{\sigma(x): x \in X\}$ é uma cobertura para $X$.

**~~#~~** Seja $\sigma$ uma estratégia para o jogador II no jogo ponto-aberto. Sejam $x_1, ..., x_n \in X$. Mostre que $\{\sigma(x_1, ..., x_n, x): x \in X\}$ é uma cobertura para $X$.
  
**~~#~~** Mostre que se o jogador II tem uma estratégia vencedora no jogo ponto-aberto, então o jogador I tem uma estratégia vencedora no jogo $\mathsf G_1(\mathsf O, \mathsf O)$.<wrap tip>[[dica:IIpontoAberto|Dica]]</wrap> <wrap tip>[[solucao:IIpontoAbertoIRothberger|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $\sigma$ uma estratégia para o jogador II em $\mathsf G_1(\mathsf O, \mathsf O)$. Então existe $x \in X$ tal que para qualquer $A$ aberto tal que $x \in A$ existe $\mathcal C$ cobertura para $X$ tal que $\sigma(\mathcal C) = A$. <wrap tip>[[dica:IIRothbergerIPontoAberto|Dica]]</wrap> <wrap tip>[[solucao:CaminhoPro7|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que se o jogador II tem uma estratégia vencedora no jogo $\mathsf G_1(\mathsf O, \mathsf O)$, então o jogador I tem uma estratégia vencedora no jogo ponto-aberto.  

<WRAP info>
Quando acontece situação como a descrita acima, em que as estratégias se invertem de um jogador para o outro entre dois jogos (I tem estratégia vencedora em um se, e somente se, II tem no outro etc.) dizemos que os jogos são {{entry>jogos/duais;duais}}.
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<WRAP tip>
Essa lista é baseada no artigo **F. Galvin, Indeterminacy of point-open games, Bull. Acad. Polon. Sci. 26 (1978)**, no momento não foi encontrada versão online.
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