Topologia e conjuntos em exercícios

===== $p$-ponto =====

<WRAP info>
Dizemos que um ultrafiltro não principal $u$ sobre $\wp(\omega)$ é um **$p$-ponto** se, para qualquer família $(A_n)_{n \in \omega}$ tal que cada $A_n \in u$, temos que existe $B \in u$ tal que $B \subset^* A_n$ para todo $n$. 
</WRAP>

<WRAP info>
Uma família $\mathcal{E}$ de conjuntos tem a **Propriedade de Interseção Finita Forte** (SFIP, em inglês) se $\bigcap \mathcal{F} \neq \emptyset$ para todo $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{E}$ finito. 

Um conjunto $K$ é uma **pseudo-interseção** de $\mathcal{E}$ se $K$ é infinito e $K \subset^* Z$ para todo $Z \in \mathcal{E}$.
</WRAP>

**~~#~~** Seja $\mathcal A$ família de subconjuntos infinitos de $\omega$ que tem a SFIP. Mostre que existe $B$ pseudo-interseção de $\mathcal{A}$. 

**~~#~~** Seja $\langle X_\alpha : \alpha < \delta \rangle$ sequência quase decrescente de conjuntos infinitos de $\omega$, isto é, $X_\beta \subset^* X_\alpha$ para todo $\alpha < \beta < \delta$ e $X_\gamma$ é infinito para cada $\gamma < \delta$. Mostre que o conjunto $$\mathcal{F} \doteq \{X \subset \omega : X_\alpha \subset^* X \text{ para algum } \alpha < \delta\}$$ é um filtro (próprio) que contém o filtro dos conjuntos cofinitos. 

**~~#~~** Esse é um roteiro para mostrar que, supondo CH, existe um $p$-ponto. Faremos isso ao construir uma sequência quase decrescente de conjuntos infinitos de comprimento $\omega_1$ e aplicar o Exercício 2.

**~~#.#~~** Note que podemos obter uma enumeração $\wp(\omega) = \{A_\alpha : \alpha < \omega_1\}$.

**~~#.#~~** Fixe $X_0 \doteq \omega$. Por indução, em um ordinal sucessor $\alpha+1$ verifique que podemos definir $$X_{\alpha+1} \doteq \left \lbrace \begin{matrix} X_\alpha \cap A_\alpha & \text{se } |X_\alpha \cap A_\alpha| = \aleph_0 \\ X_\alpha \cap (\omega \setminus A_\alpha) & \text{caso contrário} \end{matrix} \right.$$

**~~#.#~~** Verifique que toda sequência quase decrescente enumerável de subconjuntos infinitos de $\omega$ pode ser estendida por um conjunto infinito. Mostre que com isso podemos definir $X_\delta$ para $\delta < \omega_1$ ordinal limite.

**~~#.#~~** Com a sequência $\langle X_\alpha : \alpha < \omega_1 \rangle$ defina $$\mathcal{F} \doteq \{X \subset \omega : X_\alpha \subset^* X \text{ para algum } \alpha < \omega_1\}.$$ Mostre que $\mathcal{F}$ é um $p$-ponto.

Note que CH foi utilizado principalmente para obter o Execício 3.3. Podemos, entretanto, obter um $p$-ponto em um universo com $2^{\aleph_0}$ grande.

<WRAP info>
Uma **torre** é uma sequência quase decrescente maximal de subconjuntos infinitos de $\omega$, digamos $\langle X_\alpha : \alpha < \delta \rangle$, tal que não existe conjunto infinito $X$ com $X \subset^* X_\alpha$ para todo $\alpha < \delta$.

O número torre $\mathfrak{t}$ é o menor ordinal $\delta$ tal que existe uma torre de comprimento $\delta$.
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**~~#~~** Mostre que $\aleph_1 \leq \mathfrak{t} \leq 2^{\aleph_0}$.

**~~#~~** Suponha $\mathfrak{t} = 2^{\aleph_0}$. Mostre que existe $p$-ponto.

**~~#~~** Esse é um roteiro para mostrar que o [[lista:ma|Axioma de Martin]] implica $\mathfrak{t} = 2^{\aleph_0}$. Faremos isso ao construir um forcing {{entry>ccc}} $\mathbb{P}$ e daí obter uma extensão para uma sequência de tamanho menor que o continuum. 

**~~#.#~~** Assuma {{entry>MA}} e seja $\langle X_\alpha : \alpha < \delta \rangle$, $\delta < 2^{\aleph_0}$, uma sequência quase decrescente de conjuntos infinitos. Note que o conjunto $$\mathcal{F} \doteq \{X \subset \omega : X_\alpha \subset^* X \text{ para algum } \alpha < \delta\}$$ é um filtro.

**~~#.#~~** Considere $$\mathbb{P} \doteq \{(s,A):s \in [\omega]^{<\omega},A \in \mathcal{F},\max s < \min A\},$$ com a relação $\leq$ dada por $(t,B) \leq (s,A)$ se 

  * $s \subset t$, $A \supset B$
  * $t \setminus s \subset A$ 

Mostre que $(\mathbb{P},\leq)$ é um forcing.

<WRAP info>
Um forcing $\mathbb{P}$ é $\sigma$-**centrado** se existe uma partição $\mathbb{P} = \bigcup_{i \in \omega} \mathbb{P}_i$ tal que cada $\mathbb{P}_i$ é centrado, ou seja, toda coleção finita de elementos de $\mathbb{P}_i$ possui limitante inferior.
</WRAP>

**~~#.#~~** Mostre que todo forcing $\sigma$-centrado é ccc.

**~~#.#~~** Mostre que a relação $$(s_1,A_1) \sim (s_2,A_2) \iff s_1=s_2$$ define uma partição enumerável de $(\mathbb{P},\leq)$ em partes centradas. Conclua que $(\mathbb{P},\leq)$ é $\sigma$-centrado, logo, ccc.

**~~#.#~~** Para cada $\alpha < \delta$ defina $D_{\alpha} \doteq \{(s,A) \in \mathbb{P} : A \subset X_{\alpha}\}$. Mostre que $D_{\alpha}$ é denso em $\mathbb{P}$.

**~~#.#~~** Para cada $n \in \omega$ defina $\tilde{D}_n \doteq \{(s,A) \in \mathbb{P} : \max s > n\}$. Mostre que $\tilde{D}_n$ é denso em $\mathbb{P}$. 

**~~#.#~~** Defina $\mathcal{D} \doteq \{D_{\alpha}:\alpha < \delta\} \cup \{\tilde{D}_n:n \in \omega\}$. Mostre que $|\mathcal{D}|<2^{\aleph_0}$. Tome $G$ filtro $\mathcal{D}$-genérico e defina $$X \doteq \bigcup_{(s,A) \in G} s$$ e mostre que $X$ é uma extensão infinita de $\langle X_\alpha : \alpha < \delta \rangle$.

**~~#.#~~** Conclua que $\mathfrak{t} = 2^{\aleph_0}$.

**~~#~~** Mostre que MA implica a existência de um $p$-ponto.

**~~#~~** Dado $u$ ultrafiltro não principal, mostre que $u$ é $p$-ponto se, e somente se, para qualquer partição $\bigcup_{n \in \omega} A_n$ tal que cada $A_n \notin u$, existe $B \in u$ tal que $B \cap A_n$ é finito para todo $n$. 

<WRAP info>
Dado um ultrafiltro não principal $u$, dizemos que uma família $\mathcal A \subset u$ **gera** $u$ se, para todo $U \in u$ existe $A \in \mathcal A$ tal que $A \subset^* U$.  

O **caráter** de $u$, denotado $\chi(u)$, é o menor tamanho de uma família $\mathcal{A} \subset u$ que gera $u$.
</WRAP> 

<WRAP info>
$\mathfrak{p}$ é o menor tamanho de uma família $\mathcal{E} \subset [\omega]^{\omega}$ tal que $\mathcal{E}$ tem a SFIP e não existe $\mathfrak{p}$seudo-interseção de $\mathcal{E}$.
</WRAP>

**~~#~~** Seja $u$ ultrafiltro não principal. Mostre que ele não é gerado por uma família enumerável.

**~~#~~** Seja $u$ ultrafiltro não principal. Mostre que $\mathfrak{p} \leq \chi(u) \leq 2^{\aleph_0}$.

**~~#~~** Esse é um roteiro para mostrar que o Axioma de Martin implica $\mathfrak{p} = 2^{\aleph_0}$. Faremos isso ao tomar uma família $\mathcal{F} \subset [\omega]^{\omega}$ com a SFIP, $|\mathcal{F}| < 2^{\aleph_0}$, construir um forcing ccc $\mathbb{P}$ e daí obter uma pseudo-interseção para $\mathcal{F}$. 

**~~#.#~~** Assuma MA e tome $\mathcal{F} \subset [\omega]^{\omega}$ com a SFIP, $|\mathcal{F}| < 2^{\aleph_0}$, e defina $$\mathbb{P} \doteq \{(s,F):s \in [\omega]^{<\omega},F \in [\mathcal{F}]^{<\omega}\},$$ com a relação $\leq$ dada por $(s',F') \leq (s,F)$ se 

  * $s$ é um segmento inicial de $s'$
  * $F' \supset F$
  * para todo $A \in F$ vale $s' \setminus s \subset A$ 

Mostre que $(\mathbb{P},\leq)$ é um forcing.

**~~#.#~~** Mostre que $(\mathbb{P},\leq)$ é $\sigma$-centrado, logo, ccc.

**~~#.#~~** Para cada $A \in \mathcal{F}$ defina $D_A \doteq \{(s,F) \in \mathbb{P} : A \in F\}$. Mostre que $D_A$ é denso em $\mathbb{P}$.

**~~#.#~~** Para cada $n \in \omega$ defina $D_n \doteq \{(s,F) \in \mathbb{P} : |s| > n\}$. Mostre que $D_n$ é denso em $\mathbb{P}$.

**~~#.#~~** Defina $\mathcal{D} \doteq \{D_A:A \in \mathcal{F}\} \cup \{D_n:n \in \omega\}$. Mostre que $|\mathcal{D}|<2^{\aleph_0}$. Tome $G$ filtro $\mathcal{D}$-genérico e defina $$X \doteq \bigcup_{(s,F) \in G} s$$ e mostre que $X$ é uma pseudo-interseção de $\mathcal{F}$.

**~~#.#~~** Conclua que $\mathfrak{p} = 2^{\aleph_0}$.

**~~#~~** Suponha MA. Mostre que se $u$ é um ultrafiltro não principal, então $\chi(u) = 2^{\aleph_0}$. 

**~~#~~** Suponha CH e seja $u$ um $p$-ponto. Mostre que existe $(A_\xi)_{\xi <\omega_1}$ que gera $u$ e tal que $A_\xi \subset^* A_\eta$ se $\eta < \xi$.

<WRAP tip>
A próxima parte da lista fala sobre $p$-pontos do ponto de vista topológico, provavelmente você vai precisar da lista sobre [[lista:betaomega|$\beta\omega$ como espaço dos ultrafiltros sobre $\omega$]].
</WRAP>

**~~#~~** Para $A,B \subseteq \omega$ mostre que

**~~#.#~~** $A \subseteq B$ se, e somente se, $\bar{A} \subseteq \bar{B}$.

**~~#.#~~** $A \subseteq^* B$ se, e somente se, $\bar{A} \cap (\beta\omega \setminus \omega) \subseteq \bar{B}$.

**~~#~~** Mostre que $A \subseteq \omega$ é uma pseudo-interseção da família $\{A_i:i \in I\}$ se, e somente se, $\bar{A} \subseteq \bigcap_{i \in I} \bar{A_i}$.

**~~#~~** Mostre que a interseção de enumeráveis vizinhanças $\{\bar{A_i}:i < \omega\}$ de um ponto $p \in \beta\omega \setminus \omega$ tem interior não vazio. 

**~~#~~** Mostre que $p \in \beta\omega \setminus \omega$ é um $p$-ponto se, e somente se, para cada coleção enumerável $\{\bar{A_i}:i < \omega\}$ de vizinhanças de $p$ existe uma vizinhança $\bar{A}$ tal que $p \in \bar{A} \subseteq \bigcap_{i < \omega} \bar{A_i}$.

<WRAP tip>
**~~#~~** Mostre que $ \aleph_1 \leq \mathfrak{p} \leq \mathfrak{t} \leq 2^{\aleph_0}$.

Surpreendentemente, um resultado devido a Malliaris e Shelah mostra que $\mathfrak{p} = \mathfrak{t}$ em ZFC. [[https://arxiv.org/abs/1208.5424|Aqui]] está o artigo original com a demonstração do teorema, e [[https://gowers.wordpress.com/2017/09/19/two-infinities-that-are-surprisingly-equal/|aqui]] uma discussão mais informal sobre o problema.
</WRAP>
Topologia e conjuntos em exercícios

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