Topologia e conjuntos em exercícios

===== Se $I$ vence o jogo de Banach Mazur, o espaço não é Baire =====

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Esta é uma sub-lista. Para entender seu contexto, [[lista:bmbaire|você deve saber que abertos de espaços de Baire são espaços de Baire e também a recíproca do título da página]].
</WRAP>


**~~#~~** Interprete **o jogo de Banach-Mazur** e todas as suas {{entry>quasi-estratégia|(quasi-)estratégias}} como [[lista:esquemasConjuntos|esquemas de abertos]] não vazios **regular** (( Adentrar na árvore é encolher como subconjunto, ou seja, $f:T \to \mathcal{P}(X)$ é tal que $s \leq t \implies f(t) \subset f(s)$)).

**~~#~~** Suponha que você está numa posição $U$, turno do adversário de $\sigma$, uma estratégia. Mostre que a coleção de respostas de $\sigma$ à **todas as jogadas** $A \subset U$ formam $\pi$-base de $A$. ((Em outras palavras, dada uma estratégia $\sigma$ e $U \in \tau \backslash \{\emptyset\}$ posição adversária, adentrar 2 níveis em $\sigma$ fornece uma $\pi$-base do aberto $U$ (pelas regras do jogo).))

**~~#~~** Mostre que toda coleção $\mathcal{A} $ de abertos tem sub-coleção maximal dois a dois disjuntas.

**~~#~~** Mostre que aplicando o exercício anterior à uma $\pi$-base $\mathcal{B}$, obtém-se $\mathcal{D} \subset \mathcal{B}$ e que $D \doteq \bigcup \mathcal{D}$ é denso em $X$.

**~~#~~** Considere um esquema $f$ sobre $X$ tal que 
\[
\bigcup_{t \text{ sucessor de s}} f(t)
\]

é denso em $f(s)$, por indução, mostre que os níveis de $f$ são densos na imagem da raiz $f(\langle \rangle)$.

**~~#~~** Fixemos $\sigma$ estratégia **vencedora** de $I$ com //opening// $A$.

**~~#.#~~** Para cada posição $U$ de altura ímpar((turno de $II$.)) temos, como observado, uma $\pi$-base dois $\sigma$-níveis depois. Mostre que existem jogadas de $II$ que forçam $I$ à jogar uma sub-coleção **dois a dois disjunta** maximal desta $\pi$-base.

**~~#.#~~** Forçando $II$ a jogar desta forma obtemos subárvore $\rho \subset \sigma$. Mostre que "olhando apenas para as alturas ímpares" temos esquema tal que $s \perp t \implies f(s)\cap f(t) = \emptyset $.

**~~#.#~~** De novo, "olhando apenas para as alturas ímpares", mostre que os níveis $2n+1$ formam sequência de densos abertos $D_n$ de $A$, imagem da raiz.

**~~#.#~~** A reunião dos ramos através de $\rho$ é vazia.

**~~#.#~~** Se $X$ é Baire, a intersecção dos níveis de $\rho$ não é vazia.

**~~#.#~~** Argumente que as duas últimas coleções discutidas são iguais e conclua que vitória de $I$ nega que $X$ é de Baire.
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