Topologia e conjuntos em exercícios

===== Número de Lebesgue =====

<WRAP tip>
 Provavelmente é melhor você fazer as listas de [[lista:compactos]] e a de [[lista:funcoesContinuas|funções contínuas]] antes dessa.
</WRAP>


<WRAP info>
Dada uma cobertura $\mathcal C$ para um métrico $X$, dizemos que $\lambda \in \mathbb R_{>0}$ é um {{entry>número de Lebesgue}} para tal cobertura se, para todo $F \subset X$ com diâmetro menor que $\lambda$, existe $C \in \mathcal C$ tal que $F \subset C$.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que $\{]0, \frac{1}{n + 1}[: n \in \mathbb N\}$ é uma cobertura para $]0, 1[$ que não admite um número de Lebesgue.

**~~#~~** Este é um roteiro para mostrar que se $X$ é compacto, então toda cobertura admite um número de Lebesgue.

**~~#.#~~** Dada uma cobertura aberta $\mathcal C$ para $X$, por compacidade, existem $C_1, ..., C_n \in \mathcal C$ que formam uma subcobertura. Note que todo número de Lebesgue de tal cobertura é um número de Lebesgue da cobertura original;

**~~#.#~~** Para cada $i = 1, ..., n$, defina $f_i: X \to \mathbb R$ como $f_i(x) = d(x, X \setminus C_i)$ . Note que cada $f_i$ é contínua;

**~~#.#~~** Defina $f: X \to \mathbb R$ como $f(x) = \max\{f_1, ..., f_n\}$. Note que $f$ é contínua e $f(x) > 0$ para todo $x$.

**~~#.#~~** Note que $f$ admite mínimo. Use ele para encontrar um número de Lebesgue.
Topologia e conjuntos em exercícios

Ferramentas do usuário

Ferramentas do site

Ferramentas da página
