Topologia e conjuntos em exercícios

===== Nomes =====

<WRAP tip>
 É melhor você fazer essa [[lista:ideiaGeralForcing|lista]] antes desta.
</WRAP>

<WRAP tip>
Nesta lista vamos definir nomes. Eles serão úteis para se definir o valor booleano de fórmulas. No decorrer desta lista, $B$ é sempre uma álgebra booleana completa fixada.
</WRAP>

<WRAP info>
Definimos por indução nos ordinais:
  * $V_0^B = \emptyset$
  * $V_{\alpha + 1}^B = \{\sigma| \sigma$ é uma função tal que dom$\sigma \subset V_\alpha^B$ e imagem em $B\}$
  * $V_\alpha^B = \bigcup_{\beta < \alpha}V_\beta^B$ se $\alpha$ é limite.

Chamamos de {{entry>nome}} cada elemento de algum $V_\alpha^B$. Dado $\sigma$ nome, chamamos de rank de $\sigma$ o menor $\alpha$ tal que $\sigma \in V_\alpha^B$. 
</WRAP>


**~~#~~** Note que $\emptyset$ é um nome.

**~~#~~** Note que $\{(\emptyset, 1)\}$ é um nome.

**~~#~~** Mostre que $\sigma$ é um nome se, e somente se, $\sigma$ é uma função cujo domínio é um conjunto de nomes e a imagem está contida em $B$.

<WRAP tip>
Pense num nome como uma "descrição probabilística" de um conjunto: $\sigma(\rho)$ indica qual a probabilidade do elemento descrito por $\rho$ pertencer a $\sigma$. Se $\sigma(\rho) = 0$, $\rho$ não está em $\sigma$. Já se $\sigma(\rho) = 1$, é certeza que $\rho$ pertence a $\sigma$.
</WRAP>

<WRAP info>
Seja $x$ um conjunto. Definimos {{entry>$\check x$}} o nome tal que dom$(\check x) = \{\check y: y \in x\}$ e, para cada $y \in x$, $\check x(\check y) = 1$.
</WRAP>

**~~#~~** Determine $\check \emptyset$.

**~~#~~** Determine $\check x$, onde $x = \{\emptyset\}$.

**~~#~~** Determine $\check x$, onde $x = \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$.
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