Topologia e conjuntos em exercícios

===== A consistência de $\neg$CH =====

<WRAP info>
Dados $A$ e $B$ conjuntos quaisquer, denotaremos por $Fn(A,B)$ o conjunto das funções finitas cujo domínio está contido em $A$ e a imagem está contida em $B$.

Dadas $f,g \in Fn(A,B)$, se $f \supset g$, então dizemos que $f \leq g$.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que $\langle Fn(A,B), \leq \rangle$ é um forcing.

**~~#~~** Mostre que se $B$ é enumerável, então $\mathbb{P} = Fn(A,B)$ é ccc. <wrap tip>[[dica:Fnccc|Dica]]</wrap>

**~~#~~** Mostre que se $p \Vdash \varphi$ e a fórmula $\varphi \rightarrow \psi$ é verdadeira em ZFC, então $p \Vdash \psi$.

De agora em diante usaremos que $\mathbb{P} = Fn(\omega_2 \times \omega, 2)$ e que $A$ é um completamento de $\mathbb{P}$.

<WRAP info>
Dados $\alpha,\beta \in \omega_2$ e $n \in \omega$, podemos definir os conjuntos $D_{\alpha,n} = \{g \in \mathbb{P} : \langle \alpha,n \rangle \in dom(g)\}$ e $E_{\alpha,\beta} = \{g \in \mathbb{P} : \exists m \in \omega \ g(\alpha,m) \neq g(\beta,m)\}$.
</WRAP>

**~~#~~** Mostre que $D_{\alpha,n}$ e $E_{\alpha,\beta}$ são densos em $\mathbb{P}$ para quaisquer $n \in \omega$ e $\alpha,\beta \in \omega_2$.

**~~#~~** Mostre que existe um nome $\dot{f}$ tal que $[\![\dot{f} = \bigcup \dot{G}]\!] = 1$.

**~~#~~** Dado $p \in \mathbb{P}$, mostre que $p \Vdash ``\dot{f} \text{é uma função cujo domínio é } \check{\omega_2} \times \check{\omega} \text{ e o contradomínio é } \check{2}"$

**~~#~~** Dados $p \in \mathbb{P}$ e $\alpha,\beta \in \omega_2$ distintos, mostre que $p \Vdash ``\exists n \in \check{\omega} \ \dot{f}(\check{\alpha},n) \neq \dot{f}(\check{\beta},n)"$.

**~~#~~** Dado $p \in \mathbb{P}$, mostre que $p \Vdash \check{\omega_2} \leq \dot{2^{\omega}}$.

**~~#~~** Mostre que se $\varphi$ é uma fórmula tal que existe $p \in \mathbb{P}$ de forma que $p \Vdash \varphi$, então $\varphi$ é consistente com ZFC.
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