Topologia e conjuntos em exercícios

===== Métricas equivalentes =====

<WRAP info>
Dado um espaço métrico $(X, d)$, chamamos de $\tau = \{A \subset X: \forall a \in A \ \exists r > 0 \ B_r(a) \subset A\}$ de {{entry>topologia induzida por $d$}}.
</WRAP>

**~~#.#~~** Seja $X$ um conjunto. Considere $d: X \times X \to \mathbb R$ dada por 

  * $d(x, y) = 0$ se $x = y$
  * $d(x, y) = 1$ se $x \neq y$.

**~~#.#~~** Mostre que $d$ é uma métrica sobre $X$. Chamamos tal métrica de {{entry>métrica discreta}}.

**~~#.#~~** Determine $B_{\frac{1}{2}}(x)$, $B_{1}(x)$ e $B_2(x)$ para algum $x \in X$.

**~~#.#~~** Mostre que todo conjunto $A \subset X$ é aberto na topologia induzida por $d$.

**~~#~~** Considere $X$ um conjunto. Considere $\tau = \wp(X)$. 

**~~#.#~~** Mostre que $\tau$ é uma topologia sobre $X$. Chamamos tal topologia de {{entry>topologia discreta}}.

**~~#.#~~** Mostre que a métrica discreta induz a topologia discreta.<wrap tip>[[solucao:topology_disc|Solução]]</wrap>

**~~#~~** Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Mostre que $\tau$ é a topologia discreta se, e somente se, $\{x\} \in \tau$ para cada $x \in X$.<wrap tip>[[solucao:metric_disc|Solução]]</wrap>

<WRAP info>
Seja $(X, \tau)$ espaço topológico. Dizemos que $Y \subset X$ é {{entry>discreto}} se a topologia de subespaço de $Y$ é a topologia discreta.
</WRAP>

**~~#~~** Considere $\mathbb R$ com a topologia usual. Determines quais destes subespaços são discretos: $\mathbb N$, $\mathbb Z$ e $\mathbb Q$.

<WRAP info>
Sejam $X$ um conjunto e $d, d': X \times X \to \mathbb{R}$ duas métricas sobre $X$. Dizemos que $d$ e $d'$ são {{entry>métricas equivalentes}} se a topologia induzida por ambas é a mesma.
</WRAP>


**~~#.#~~** Considere $d$ a métrica usual sobre $\mathbb R$ e considere $d'$ a métrica discreta. Mostre que $d$ e $d'$ não são equivalentes.

**~~#.#~~** Considere $X$ um conjunto e sejam $d$ a métrica discreta e $d'$ a métrica dada por 
  * $d'(x, y) = 0$ se $x = y$
  * $d'(x, y) = 2$ se $x \neq y$
Mostre que $d$ e $d'$ são equivalentes.
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